Equilibrio statico

Un corpo è in equilibrio statico quando sta fermo e continua a restare fermo nel tempo. Capire quando questo accade è il primo passo verso lo studio delle forze: se sappiamo scrivere le condizioni che tengono un corpo immobile, sappiamo anche prevedere quando invece comincerà a muoversi. Questa sezione parte dal caso più semplice, il punto materiale, per poi estendere il discorso al corpo rigido, dove non basta più annullare le forze ma occorre annullare anche i momenti. Le leve sono il caso quotidiano di quell’equilibrio rotazionale.

• Equilibrio del punto materiale
• Corpo rigido ed equilibrio rotazionale
• Leve
  • Formula chiave — Carrucola fissa, carrucola mobile e paranco
• Equilibrio stabile, instabile e indifferente

A body is in static equilibrium when it is at rest and remains at rest over time. Understanding when this happens is the first step towards the study of forces: if we can write the conditions that keep a body still, we can also predict when it will instead start to move. This section starts from the simplest case, the point mass, and then extends the discussion to the rigid body, where it is no longer enough to cancel the forces, but the moments must be cancelled too. Levers are the everyday case of that rotational equilibrium.

• Equilibrium of a point mass
• Rigid bodies and rotational equilibrium
• Levers
  • Key formula — Fixed pulley, movable pulley and block and tackle
• Stable, unstable and neutral equilibrium

Un corpo è in equilibrio statico se sta fermo e continua a stare fermo nel tempo. Per un punto materiale — un oggetto così piccolo da poterne trascurare le dimensioni e la forma — questa condizione si traduce in un requisito semplicissimo sulle forze che agiscono su di esso: la loro risultante deve essere nulla. Se in una qualsiasi direzione le forze non si compensassero, il punto comincerebbe ad accelerare in quel verso e l’equilibrio sarebbe rotto.

Principio — Condizione di equilibrio per un punto materiale

$\ev{\sum_i \vv{F}_i = \vv{0}}$ La somma vettoriale di tutte le forze agenti sul punto deve essere nulla.

Trattandosi di un’uguaglianza fra vettori, essa equivale a più uguaglianze scalari, una per ogni direzione dello spazio. Lavorando nel piano, la condizione $\sum_i \vv{F}_i = \vv{0}$ si spezza in due equazioni indipendenti:

$\begin{aligned} \sum_i F_{i,x} = 0 \qquad \sum_i F_{i,y} = 0 \end{aligned}$

cioè la somma di tutte le componenti orizzontali è zero e la somma di tutte le componenti verticali è zero. Ogni forza va prima scomposta lungo gli assi scelti, poi si sommano separatamente le componenti $x$ e le componenti $y$. Scegliere assi comodi — spesso uno lungo la direzione di una forza nota — semplifica moltissimo i conti.

Regola delle $N$ incognite

Se in un problema compaiono $N$ incognite (forze, angoli, lunghezze di molle, reazioni vincolari…), per determinarle tutte servono almeno $N$ equazioni diverse e non banali: una relazione del tipo $0 = 0$ non conta. Quando le due condizioni $\sum \vv{F} = \vv{0}$ non bastano, la terza equazione arriva quasi sempre da una relazione geometrica del disegno: lunghezze di molle che sommano a una distanza fissa, angoli complementari, corde che passano per pulegge. In molti problemi è letteralmente impossibile arrivare alla soluzione senza leggere la geometria della figura.

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Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Equilibrio statico Oggetti: Molla

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A body is in static equilibrium if it is at rest and remains at rest over time. For a point mass — an object so small that its dimensions and shape can be neglected — this condition translates into a very simple requirement on the forces acting on it: their resultant must be zero. If in any direction the forces failed to cancel, the point would begin to accelerate that way and the equilibrium would be broken.

Principle — Equilibrium condition for a point mass

$\ev{\sum_i \vv{F}_i = \vv{0}}$ The vector sum of all forces acting on the point must be zero.

Being an equality between vectors, it is equivalent to several scalar equalities, one for each direction in space. Working in the plane, the condition $\sum_i \vv{F}_i = \vv{0}$ splits into two independent equations:

$\begin{aligned} \sum_i F_{i,x} = 0 \qquad \sum_i F_{i,y} = 0 \end{aligned}$

that is, the sum of all horizontal components is zero and the sum of all vertical components is zero. Each force must first be resolved along the chosen axes, then the $x$ components and the $y$ components are summed separately. Choosing convenient axes — often one along the direction of a known force — greatly simplifies the working.

Rule of $N$ unknowns

If a problem contains $N$ unknowns (forces, angles, spring lengths, normal reactions…), determining all of them requires at least $N$ distinct, non-trivial equations: a relation of the form $0 = 0$ does not count. When the two conditions $\sum \vv{F} = \vv{0}$ are not enough, the third equation almost always comes from a geometric relation in the diagram: spring lengths that add up to a fixed distance, complementary angles, ropes running over pulleys. In many problems it is literally impossible to reach the solution without reading the geometry of the figure.

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Topics: Statics and equilibrium Concepts: Static equilibrium Objects: Spring

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Finora abbiamo trattato oggetti puntiformi, in cui tutte le forze si applicano nello stesso punto. Ma un’asse, una trave o una scala hanno un’estensione, e le forze agiscono su punti diversi: questo apre la possibilità che il corpo ruoti anche quando il suo centro resta fermo. Serve quindi un modello più ricco.

Principio — Corpo rigido

Un corpo rigido è un oggetto esteso (non puntiforme) in cui la distanza tra ogni coppia di punti è fissa e immutabile nel tempo. Esempi: una sbarra d’acciaio, un libro chiuso, un mattone. Controesempi: una fune, un elastico, un gas.

Per un corpo rigido in equilibrio statico non basta che la somma delle forze sia nulla. Immaginiamo di spingere il bordo destro di un libro verso l’alto e il bordo sinistro verso il basso con due forze uguali e opposte: la risultante è zero, il centro del libro non trasla, eppure il libro si mette a ruotare. Per impedirlo occorre annullare anche la tendenza a far girare il corpo, cioè la somma dei momenti delle forze.

Principio — Equilibrio di un corpo rigido

Un corpo rigido è in equilibrio statico se e solo se sono verificate entrambe le condizioni: $\begin{aligned} \sum_i \vv{F}_i = \vv{0} \quad \text{(equilibrio traslazionale)} \\ \sum_i M_i = 0 \quad \text{(equilibrio rotazionale, rispetto a un polo qualsiasi)} \end{aligned}$

Il momento (detto anche momento torcente) di una forza $\vv{F}$ rispetto a un polo $O$ misura la sua capacità di far ruotare il corpo attorno a quel polo, ed è

$M = \pm\,\abs{\vv{F}}\cdot b$

dove $b$ è la distanza dal polo alla retta su cui giace la forza, detta braccio. Il braccio non è la distanza dal punto di applicazione, ma dalla retta d’azione: una forza che punta dritto verso il polo ha braccio nullo e non fa ruotare nulla. Il segno è positivo se la forza tende a far ruotare in senso antiorario attorno al polo, negativo se in senso orario.

Scegli il polo furbamente

La seconda condizione vale rispetto a un polo qualsiasi: siamo liberi di scegliere quello che ci conviene. Un polo posto sul punto di applicazione di una forza ignota la elimina dall’equazione dei momenti, perché quella forza avrà braccio zero. Con una scelta accorta si può passare da tre incognite a una sola: la scelta del polo è libera ma decisiva per velocizzare i conti.

Il concetto di momento è centrale in gran parte della meccanica: lo ritroveremo e lo approfondiremo studiando il centro di massa dei corpi estesi e, più avanti, la dinamica delle rotazioni, dove i momenti governano non solo l’equilibrio ma anche il moto rotatorio vero e proprio.

▶8.01x Lez. 25 — Equilibrio statico — Walter Lewin

▶La domanda di uno studente che salvò un grattacielo di New York — Veritasium

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Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Momento di una forza Competenze: Bilancio dei momenti · Scelta del polo Oggetti: Corpo rigido

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So far we have treated point-like objects, in which all forces are applied at the same point. But a rod, a beam or a ladder have an extent, and forces act on different points: this opens up the possibility that the body rotates even when its centre stays still. A richer model is therefore needed.

Principle — Rigid body

A rigid body is an extended (non point-like) object in which the distance between every pair of points is fixed and unchanging in time. Examples: a steel bar, a closed book, a brick. Counter-examples: a rope, an elastic band, a gas.

For a rigid body in static equilibrium it is not enough that the sum of the forces be zero. Imagine pushing the right edge of a book upward and the left edge downward with two equal and opposite forces: the resultant is zero, the centre of the book does not translate, and yet the book starts to rotate. To prevent this, the tendency to make the body spin must also be cancelled out, i.e. the sum of the moments of the forces.

Principle — Equilibrium of a rigid body

A rigid body is in static equilibrium if and only if both conditions are satisfied: $\begin{aligned} \sum_i \vv{F}_i = \vv{0} \quad \text{(translational equilibrium)} \\ \sum_i M_i = 0 \quad \text{(rotational equilibrium, about any pole)} \end{aligned}$

The moment (or torque) of a force $\vv{F}$ about a pole $O$ measures its ability to rotate the body about that pole, and is

$M = \pm\,\abs{\vv{F}}\cdot b$

where $b$ is the distance from the pole to the line of action of the force, called the lever arm. The lever arm is not the distance from the point of application, but from the line of action: a force pointing straight at the pole has zero lever arm and causes no rotation at all. The sign is positive if the force tends to rotate anticlockwise about the pole, negative if clockwise.

Choose the pole wisely

The second condition holds about any pole: we are free to choose the one that suits us. A pole placed at the point of application of an unknown force removes it from the moment equation, because that force will have zero lever arm. With a shrewd choice one can go from three unknowns to just one: the choice of pole is free but decisive for speeding up the working.

The concept of moment is central to much of mechanics: we shall meet it again, and go further into it, when studying the centre of mass of extended bodies and, later, the dynamics of rotation, where moments govern not only equilibrium but genuine rotational motion.

▶8.01x Lect 25 — Static Equilibrium — Walter Lewin

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Topics: Statics and equilibrium Concepts: Moment of a force Skills: Torque balance · Choice of pole Objects: Rigid body

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Una leva è un’asta rigida che può ruotare attorno a un punto fisso, il fulcro. Si usa per sollevare, tagliare o schiacciare applicando una forza diversa da quella che servirebbe ad agire direttamente sul carico. Il principio è quello già scritto per il corpo rigido: all’equilibrio la somma dei momenti rispetto al fulcro è nulla. Qui se ne fa il caso più semplice, con due forze perpendicolari all’asta, che è il caso delle forbici, dell’altalena e della carriola.

Si chiamano forza motrice $F_m$ la forza che applichiamo, e forza resistente $F_r$ la forza che il carico oppone, in modulo uguale al peso del carico quando lo si solleva piano, a velocità costante. I bracci $b_m$ e $b_r$ sono le distanze dal fulcro alle rette d’azione delle due forze, misurate perpendicolarmente a esse. Se le forze sono perpendicolari all’asta, il braccio coincide con la distanza dal fulcro al punto di applicazione. Il braccio non è «il pezzo di asta che si vede»: è la distanza fra il fulcro e la retta della forza, come nel bilancio dei momenti.

Equilibrio di una leva

Se le due forze sono perpendicolari all’asta e i loro momenti sono opposti, $\ev{F_m\, b_m = F_r\, b_r}$ Il vantaggio meccanico è il rapporto $\ev{\frac{F_r}{F_m} = \frac{b_m}{b_r}}$ Se $b_m > b_r$ si vince una forza resistente più grande della forza che si applica. L’asta non crea forza dal nulla: la mano percorre un arco più lungo del carico.

La condizione si legge in due versi. Noto il carico e i due bracci, la forza da applicare è $F_m = F_r\, b_r/b_m$. Nota la forza che sappiamo fare, il carico massimo è $F_r = F_m\, b_m/b_r$. Il peso dell’asta, in prima liceo, si trascura, oppure lo si pensa applicato nel centro e lo si aggiunge come un terzo momento. Qui lo trascuriamo, e lo diciamo.

Tre generi

Il genere dipende da dove sta il fulcro rispetto alle due forze. Non dipende da quale forza è più grande.

Nel primo genere il fulcro sta in mezzo. L’altalena è il caso simmetrico: se i due bambini hanno lo stesso peso, stanno in equilibrio a distanze uguali dal perno. Se uno pesa il doppio, deve sedersi a metà distanza. Nelle forbici il fulcro è il perno: si fa meno fatica se si mette il materiale vicino al perno, perché il braccio resistente diventa corto e quello della mano resta lungo. Le cesoie da latta hanno il fulcro ancora più vicino alla lama.

Nel secondo genere il carico sta fra il fulcro e la mano. Nella carriola il fulcro è la ruota, il peso sta nel cassone e le mani stanno in fondo ai manici. Il braccio motore è più lungo del braccio resistente, quindi $F_m < F_r$: si solleva un carico più pesante della forza applicata. Lo schiaccianoci funziona allo stesso modo. Il vantaggio è sempre maggiore di uno, perché la mano è l’estremo lontano e il carico è più vicino al fulcro.

Nel terzo genere la forza motrice sta fra il fulcro e il carico. Le pinzette si stringono nel mezzo e afferrano in punta: si fa più forza di quella che arriva sull’oggetto, e in cambio la punta si muove con precisione. L’avambraccio è una leva dello stesso genere. Il fulcro è il gomito, il bicipite si inserisce a pochi centimetri dal gomito, e il peso tenuto in mano sta a circa $30\;\text{cm}$. Il muscolo tira più del peso che sostiene. Non è uno svantaggio gratuito: un accorciamento piccolo del bicipite sposta la mano di molto.

Il triangolo è il fulcro. Nel primo genere sta fra le due forze; nel secondo il carico sta in mezzo; nel terzo sta in mezzo la forza che applichiamo.

Formula chiave — Carrucola fissa, carrucola mobile e paranco

Il vantaggio meccanico della leva, $F_r/F_m = b_m/b_r$, ha un analogo in un’altra macchina semplice del primo anno: la carrucola, da sola o combinata in un paranco. Leve, carrucole e paranco non creano lavoro dal nulla: permettono di sollevare un carico di peso $P$ con una forza $F$ più piccola, o di cambiare la direzione in cui si tira. Si considera il caso ideale già usato negli esercizi: fune inestensibile e priva di massa, pulegge prive di massa e senza attrito, carico sollevato a velocità costante. La tensione $T$ è allora la stessa lungo tutta la fune, e $F = T$.

• Carrucola fissa. L’asse è fissato al sostegno. La fune arriva da un lato col carico e si tira dall’altro: la carrucola cambia solo la direzione della forza. Un solo tratto di fune sostiene il carico, quindi

$\ev{F = P}$

Il vantaggio meccanico è $1$. Non si fa meno fatica, ma si può tirare verso il basso, che è più comodo.

• Carrucola mobile. L’asse è solidale col carico e si alza con lui. Un capo della fune è fisso, l’altro si tira; due tratti di fune sostengono il carico, ciascuno con tensione $T$, quindi $2T = P$ e

$\ev{F = \frac{P}{2}}$

Il vantaggio meccanico è $2$. In cambio, per alzare il carico di un’altezza $h$ bisogna tirare una lunghezza di fune $s = 2h$. Se si aggiunge una carrucola fissa solo per poter tirare verso il basso, i tratti che sostengono restano due e la forza non cambia: si è reso più comodo il tiro.

• Paranco. Si combinano una o più carrucole fisse, che rinviano la fune, e una o più carrucole mobili, che sostengono il carico. Se $n$ tratti di fune sostengono il carico,

$\ev{F = \frac{P}{n}}$

Il vantaggio meccanico è $n$. Per alzare il carico di $h$ si tira una fune lunga $s = n\,h$.

Il lavoro non si moltiplica. In tutti e tre i casi, se non c’è attrito,

$\ev{F\, s = P\, h}$

È un bilancio dell’energia: il lavoro $F\,s$ fatto dalla mano entra nel sistema e diventa tutto energia potenziale gravitazionale del carico, $P\,h$; nel diagramma a bolle c’è una sola freccia in ingresso, verso la bolla $E_\text{pot,grav}$. Come nella leva, non si guadagna lavoro: se la forza si dimezza, lo spostamento della mano raddoppia. Con attrito la forza da applicare è un po’ più grande di $P/n$ e $F\,s$ supera $P\,h$: la differenza finisce nella bolla dell’energia termica $E_\text{term}$ di funi e pulegge.

Esempio numerico. Si vuole sollevare, piano e a velocità costante, un carico di massa $40\;\text{kg}$. Si prende $g = 9{,}8\;\text{m/s}^2$, come negli esercizi di questa nota. Il peso è $P = 40\cdot 9{,}8 = 392\;\text{N}$.

Con una carrucola fissa si tira con $F = 392\;\text{N}$. Con una carrucola mobile, $F = 196\;\text{N}$. Con un paranco a $n = 4$ tratti,

$\ev{F = \frac{392}{4} = 98\;\text{N}.}$

Se il carico sale di $h = 0{,}50\;\text{m}$, la mano tira $s = 4\cdot 0{,}50 = 2{,}0\;\text{m}$ di fune, e il lavoro è lo stesso dai due lati: $98\cdot 2{,}0 = 196\;\text{J}$ e $392\cdot 0{,}50 = 196\;\text{J}$.

Dove la ritrovi. Negli esercizi la carrucola è quasi sempre quella fissa ideale, che devia la fune senza cambiare la tensione: è il caso della macchina di Atwood e dei problemi Macchina di Atwood (valori numerici), Due corpi collegati da carrucola, Scimmia e peso su una carrucola e Carrucola a due masse. La distinzione fra fissa, mobile e paranco serve quando si chiede il vantaggio meccanico, cioè in statica, come le leve di questa pagina.

Da sinistra: carrucola fissa (cambia solo la direzione, $F=P$); carrucola mobile (due tratti sostengono il carico, $F=P/2$); paranco con $n=4$ tratti ($F=P/n$). Caso ideale, senza attrito.

Esercizi svolti

Esercizio 1 — Altalena, primo genere

Un’altalena ha il perno al centro. Anna, di massa $30\;\text{kg}$, siede a $1{,}6\;\text{m}$ dal perno. Dove deve sedere suo fratello, di massa $40\;\text{kg}$, perché l’altalena resti in equilibrio orizzontale? Si prenda $g = 9{,}8\;\text{m/s}^2$ e si trascuri la massa dell’asse.

I pesi sono $P_A = 30\cdot 9{,}8 = 294\;\text{N}$ e $P_B = 40\cdot 9{,}8 = 392\;\text{N}$. All’equilibrio i momenti rispetto al perno sono uguali. Il fattore $g$ compare da entrambe le parti e si semplifica, quindi basta uguagliare $m_A b_A$ e $m_B b_B$: $30\cdot 1{,}6 = 40\cdot b_B.$ $48 = 40\, b_B, \qquad \ev{b_B = \frac{48}{40} = 1{,}2\;\text{m}.}$ Il fratello siede a $1{,}2\;\text{m}$ dal perno, dalla parte opposta. Il risultato è esatto; le masse hanno due cifre e $1{,}6$ ne ha due, e $1{,}2$ ne ha due. Controllo dei momenti: $294\cdot 1{,}6 = 470\;\text{N}\cdot\text{m}$ e $392\cdot 1{,}2 = 470\;\text{N}\cdot\text{m}$, a tre cifre del prodotto. Sono uguali.

Esercizio 2 — Carriola, secondo genere

Una carriola porta un sacco di cemento di massa $25\;\text{kg}$. Il baricentro del sacco dista $40\;\text{cm}$ dall’asse della ruota, che è il fulcro. Le mani impugnano i manici a $1{,}2\;\text{m}$ dalla ruota. Che forza verticale devono applicare le mani per tenere la carriola in equilibrio, a manici orizzontali? Si trascuri il peso della carriola vuota e si prenda $g = 9{,}8\;\text{m/s}^2$.

È una leva di secondo genere: fulcro (ruota), poi carico, poi mani. Il peso del sacco è $F_r = 25\cdot 9{,}8 = 245\;\text{N}.$ I bracci sono $b_r = 0{,}40\;\text{m}$ e $b_m = 1{,}2\;\text{m}$. Dalla condizione di equilibrio $F_m = F_r\,\frac{b_r}{b_m} = 245\cdot \frac{0{,}40}{1{,}2} = 245\cdot \frac{1}{3} = 81{,}7\;\text{N}.$ I dati $25$, $0{,}40$ e $1{,}2$ hanno due cifre significative, quindi $\ev{F_m = 82\;\text{N}.}$ Il vantaggio meccanico è $b_m/b_r = 1{,}2/0{,}40 = 3{,}0$: le mani fanno un terzo del peso. $82\;\text{N}$ sono circa il peso di una massa di $8\;\text{kg}$, una forza ragionevole per sollevare $25\;\text{kg}$ di cemento con una carriola. Se il sacco fosse sulla verticale della ruota, il braccio resistente sarebbe nullo e le mani non farebbero forza: il carico graverebbe tutto sull’asse.

Esercizio 3 — Avambraccio, terzo genere

Si schematizza l’avambraccio come un’asta orizzontale, fulcro nel gomito. Il bicipite si inserisce a $b_m = 4{,}0\;\text{cm}$ dal gomito e tira verso l’alto. La mano regge un pallone da $2{,}0\;\text{kg}$ a $b_r = 32\;\text{cm}$ dal gomito. Qual è la forza del bicipite, se si trascura il peso dell’avambraccio? $g = 9{,}8\;\text{m/s}^2$.

È una leva di terzo genere: la forza motrice sta fra il fulcro e il carico, e $b_m < b_r$. Il peso del pallone è $F_r = 2{,}0\cdot 9{,}8 = 19{,}6\;\text{N}.$ La forza del bicipite è $F_m = F_r\,\frac{b_r}{b_m} = 19{,}6\cdot \frac{32}{4{,}0} = 19{,}6\cdot 8{,}0 = 157\;\text{N}.$ A due cifre significative, come $2{,}0$ e $4{,}0$, $\ev{F_m = 1{,}6\cdot 10^{2}\;\text{N}.}$ Il muscolo tira circa otto volte il peso del pallone. Il vantaggio meccanico è $b_m/b_r = 4{,}0/32 = 0{,}125$, che a due cifre significative si scrive $0{,}13$. È minore di uno: si spende forza, e si guadagna spostamento. Un accorciamento di $1\;\text{cm}$ del bicipite, con questi bracci, sposta la mano di $8\;\text{cm}$. Il peso dell’avambraccio, trascurato qui, aggiungerebbe un momento e alzerebbe ancora $F_m$.

Errori tipici

• Scambiare i bracci nel rapporto. $F_m = F_r\, b_r/b_m$, non il contrario. La forza più lontana dal fulcro è la più piccola. Se il conto dice che per sollevare con un piede di porco un sasso di $30\;\text{kg}$ (circa $300\;\text{N}$ di peso) servono $2000\;\text{N}$, i bracci sono finiti al posto sbagliato: con il fulcro vicino al sasso la forza della mano deve essere minore del peso, non maggiore.
• Misurare il braccio lungo la traiettoria della mano. Il braccio è la distanza dal fulcro alla retta della forza, non l’arco percorso. L’arco entra nel discorso sullo spostamento, non nell’equilibrio.
• Dimenticare che le forze devono essere quelle perpendicolari all’asta. Se si tira di sbieco, il braccio non è la distanza lungo l’asta. In questi esercizi le forze sono verticali e l’asta orizzontale, quindi il braccio è la distanza dal fulcro.
• Classificare la leva dalla forza più grande, invece che dall’ordine. Il genere si legge sulla posizione del fulcro. Una leva di terzo genere può essere faticosa e restare di terzo genere.
• Contare il peso dell’asta due volte, o non dire che lo si trascura. Se l’asta è pesante, il suo peso è un’altra forza, applicata nel baricentro, con il suo braccio. O lo si mette nell’equazione dei momenti, o si scrive che l’asta si considera leggera.

Collegamenti

Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Leve · Equilibrio statico · Momento di una forza Competenze: Bilancio dei momenti

Vedi anche: Corpo rigido ed equilibrio rotazionale · Equilibrio del corpo rigido · Altalena e fulcro · Fune ideale e pulegge

A lever is a rigid bar that can rotate about a fixed point, the fulcrum. It is used to lift, cut or crush by applying a force different from the one that would be needed to act directly on the load. The principle is the one already written for the rigid body: at equilibrium the sum of the moments about the fulcrum is zero. Here we take the simplest case, with two forces perpendicular to the bar, which is the case of scissors, a seesaw and a wheelbarrow.

The effort $F_m$ is the force we apply, and the load $F_r$ is the force the burden opposes, in magnitude equal to the weight of the burden when it is lifted slowly, at constant velocity. The arms $b_m$ and $b_r$ are the distances from the fulcrum to the lines of action of the two forces, measured perpendicular to them. If the forces are perpendicular to the bar, the arm coincides with the distance from the fulcrum to the point of application. The arm is not “the piece of bar one sees”: it is the distance between the fulcrum and the line of the force, as in the balance of moments.

Equilibrium of a lever

If the two forces are perpendicular to the bar and their moments are opposite, $\ev{F_m\, b_m = F_r\, b_r}$ The mechanical advantage is the ratio $\ev{\frac{F_r}{F_m} = \frac{b_m}{b_r}}$ If $b_m > b_r$ one overcomes a load larger than the force one applies. The bar does not create force from nothing: the hand travels along a longer arc than the load.

The condition is read in two directions. Given the load and the two arms, the force to apply is $F_m = F_r\, b_r/b_m$. Given the force one can exert, the maximum load is $F_r = F_m\, b_m/b_r$. The weight of the bar, in the first year, is neglected, or it is thought of as applied at the centre and added as a third moment. Here we neglect it, and we say so.

Three classes

The class depends on where the fulcrum sits relative to the two forces. It does not depend on which force is larger.

In the first class the fulcrum is in the middle. The seesaw is the symmetric case: if the two children have the same weight, they balance at equal distances from the pivot. If one weighs twice as much, that child must sit at half the distance. In scissors the fulcrum is the pivot: cutting takes less effort if the material is placed close to the pivot, because the load arm becomes short while the arm of the hand stays long. Tin snips have the fulcrum even closer to the blade.

In the second class the load sits between the fulcrum and the hand. In a wheelbarrow the fulcrum is the wheel, the weight sits in the bin and the hands sit at the end of the handles. The effort arm is longer than the load arm, so $F_m < F_r$: one lifts a burden heavier than the applied force. A nutcracker works in the same way. The advantage is always greater than one, because the hand is the far end and the load is closer to the fulcrum.

In the third class the effort sits between the fulcrum and the load. Tweezers are squeezed in the middle and grip at the tip: one exerts more force than arrives on the object, and in return the tip moves with precision. The forearm is a lever of the same class. The fulcrum is the elbow, the biceps inserts a few centimetres from the elbow, and the weight held in the hand sits about $30\;\text{cm}$ away. The muscle pulls more than the weight it supports. It is not a free disadvantage: a small shortening of the biceps moves the hand a long way.

The triangle is the fulcrum. In the first class it sits between the two forces; in the second the load is in the middle; in the third the force we apply is in the middle.

Key formula — Fixed pulley, movable pulley and block and tackle

The mechanical advantage of the lever, $F_r/F_m = b_m/b_r$, has an analogue in another simple machine of the first year: the pulley, on its own or combined into a block and tackle. Levers, pulleys and block and tackle do not create work from nothing: they make it possible to lift a load of weight $P$ with a smaller force $F$, or to change the direction in which one pulls. We take the ideal case already used in the exercises: inextensible, massless rope, massless pulleys and no friction, load raised at constant speed. The tension $T$ is then the same along the whole rope, and $F = T$.

• Fixed pulley. The axle is fixed to the support. The rope comes in on one side with the load and is pulled on the other: the pulley changes only the direction of the force. A single strand of rope supports the load, so

$\ev{F = P}$

The mechanical advantage is $1$. One does not pull with less force, but one can pull downwards, which is more convenient.

• Movable pulley. The axle is attached to the load and rises with it. One end of the rope is fixed, the other is pulled; two strands of rope support the load, each with tension $T$, so $2T = P$ and

$\ev{F = \frac{P}{2}}$

The mechanical advantage is $2$. In return, to raise the load by a height $h$ one must pull a length of rope $s = 2h$. If a fixed pulley is added only so that one can pull downwards, the supporting strands remain two and the force does not change: only the pull has been made more convenient.

• Block and tackle. One combines one or more fixed pulleys, which redirect the rope, and one or more movable pulleys, which support the load. If $n$ strands of rope support the load,

$\ev{F = \frac{P}{n}}$

The mechanical advantage is $n$. To raise the load by $h$ one pulls a length of rope $s = n\,h$.

Work is not multiplied. In all three cases, if there is no friction,

$\ev{F\, s = P\, h}$

This is an energy balance: the work $F\,s$ done by the hand enters the system and all of it becomes gravitational potential energy of the load, $P\,h$; in the bubble diagram there is a single incoming arrow, into the $E_\text{pot,grav}$ bubble. As with the lever, one does not gain work: if the force is halved, the displacement of the hand doubles. With friction the force to apply is a little larger than $P/n$ and $F\,s$ exceeds $P\,h$: the difference ends up in the thermal-energy bubble $E_\text{term}$ of ropes and pulleys.

Worked example. One wants to lift, slowly and at constant speed, a load of mass $40\;\text{kg}$. Take $g = 9.8\;\text{m/s}^2$, as in the exercises of this note. The weight is $P = 40\cdot 9.8 = 392\;\text{N}$.

With a fixed pulley one pulls with $F = 392\;\text{N}$. With a movable pulley, $F = 196\;\text{N}$. With a block and tackle of $n = 4$ strands,

$\ev{F = \frac{392}{4} = 98\;\text{N}.}$

If the load rises by $h = 0.50\;\text{m}$, the hand pulls $s = 4\cdot 0.50 = 2.0\;\text{m}$ of rope, and the work is the same on both sides: $98\cdot 2.0 = 196\;\text{J}$ and $392\cdot 0.50 = 196\;\text{J}$.

See it in. In the exercises the pulley is almost always the ideal fixed one, which redirects the rope without changing the tension: that is the case of the Atwood machine and of the problems Atwood machine (numerical values), Two bodies connected by a pulley, Monkey and weight on a pulley and Pulley with two masses. The distinction between fixed, movable and block and tackle is needed when the mechanical advantage is asked for, that is in statics, as with the levers on this page.

From the left: fixed pulley (changes only the direction, $F=P$); movable pulley (two strands support the load, $F=P/2$); block and tackle with $n=4$ strands ($F=P/n$). Ideal case, no friction.

Worked exercises

Exercise 1 — Seesaw, first class

A seesaw has its pivot at the centre. Anna, of mass $30\;\text{kg}$, sits $1{,}6\;\text{m}$ from the pivot. Where must her brother, of mass $40\;\text{kg}$, sit so that the seesaw stays horizontal in equilibrium? Take $g = 9{,}8\;\text{m/s}^2$ and neglect the mass of the beam.

The weights are $P_A = 30\cdot 9{,}8 = 294\;\text{N}$ and $P_B = 40\cdot 9{,}8 = 392\;\text{N}$. At equilibrium the moments about the pivot are equal. The factor $g$ appears on both sides and cancels, so it is enough to set $m_A b_A$ equal to $m_B b_B$: $30\cdot 1{,}6 = 40\cdot b_B.$ $48 = 40\, b_B, \qquad \ev{b_B = \frac{48}{40} = 1{,}2\;\text{m}.}$ The brother sits $1{,}2\;\text{m}$ from the pivot, on the opposite side. The result is exact; the masses have two figures and $1{,}6$ has two, and $1{,}2$ has two. Check of the moments: $294\cdot 1{,}6 = 470\;\text{N}\cdot\text{m}$ and $392\cdot 1{,}2 = 470\;\text{N}\cdot\text{m}$, to three figures of the product. They are equal.

Exercise 2 — Wheelbarrow, second class

A wheelbarrow carries a bag of cement of mass $25\;\text{kg}$. The centre of mass of the bag is $40\;\text{cm}$ from the axle of the wheel, which is the fulcrum. The hands grip the handles $1{,}2\;\text{m}$ from the wheel. What vertical force must the hands apply to hold the wheelbarrow in equilibrium, with the handles horizontal? Neglect the weight of the empty wheelbarrow and take $g = 9{,}8\;\text{m/s}^2$.

It is a second-class lever: fulcrum (wheel), then load, then hands. The weight of the bag is $F_r = 25\cdot 9{,}8 = 245\;\text{N}.$ The arms are $b_r = 0{,}40\;\text{m}$ and $b_m = 1{,}2\;\text{m}$. From the equilibrium condition $F_m = F_r\,\frac{b_r}{b_m} = 245\cdot \frac{0{,}40}{1{,}2} = 245\cdot \frac{1}{3} = 81{,}7\;\text{N}.$ The data $25$, $0{,}40$ and $1{,}2$ have two significant figures, so $\ev{F_m = 82\;\text{N}.}$ The mechanical advantage is $b_m/b_r = 1{,}2/0{,}40 = 3{,}0$: the hands exert one third of the weight. $82\;\text{N}$ is about the weight of a mass of $8\;\text{kg}$, a reasonable force for lifting $25\;\text{kg}$ of cement with a wheelbarrow. If the bag were on the vertical through the wheel, the load arm would be zero and the hands would exert no force: the burden would bear entirely on the axle.

Exercise 3 — Forearm, third class

The forearm is modelled as a horizontal bar, with the fulcrum at the elbow. The biceps inserts at $b_m = 4{,}0\;\text{cm}$ from the elbow and pulls upwards. The hand holds a ball of $2{,}0\;\text{kg}$ at $b_r = 32\;\text{cm}$ from the elbow. What is the force of the biceps, if the weight of the forearm is neglected? $g = 9{,}8\;\text{m/s}^2$.

It is a third-class lever: the effort sits between the fulcrum and the load, and $b_m < b_r$. The weight of the ball is $F_r = 2{,}0\cdot 9{,}8 = 19{,}6\;\text{N}.$ The force of the biceps is $F_m = F_r\,\frac{b_r}{b_m} = 19{,}6\cdot \frac{32}{4{,}0} = 19{,}6\cdot 8{,}0 = 157\;\text{N}.$ To two significant figures, as in $2{,}0$ and $4{,}0$, $\ev{F_m = 1{,}6\cdot 10^{2}\;\text{N}.}$ The muscle pulls about eight times the weight of the ball. The mechanical advantage is $b_m/b_r = 4{,}0/32 = 0{,}125$, which to two significant figures is written $0{,}13$. It is less than one: one spends force, and gains displacement. A shortening of $1\;\text{cm}$ of the biceps, with these arms, moves the hand by $8\;\text{cm}$. The weight of the forearm, neglected here, would add a moment and raise $F_m$ further.

Typical mistakes

• Swapping the arms in the ratio. $F_m = F_r\, b_r/b_m$, not the reverse. The force farther from the fulcrum is the smaller one. If the calculation says that lifting a $30\;\text{kg}$ rock (a weight of about $300\;\text{N}$) with a crowbar takes $2000\;\text{N}$, the arms have ended up in the wrong places: with the fulcrum close to the rock, the force of the hand must be smaller than the weight, not larger.
• Measuring the arm along the path of the hand. The arm is the distance from the fulcrum to the line of the force, not the arc travelled. The arc enters the discussion of displacement, not of equilibrium.
• Forgetting that the forces must be the ones perpendicular to the bar. If one pulls at a slant, the arm is not the distance along the bar. In these exercises the forces are vertical and the bar is horizontal, so the arm is the distance from the fulcrum.
• Classifying the lever by the larger force, instead of by the order. The class is read from the position of the fulcrum. A third-class lever can be tiring and still be third class.
• Counting the weight of the bar twice, or not saying that it is neglected. If the bar is heavy, its weight is another force, applied at the centre of mass, with its own arm. Either one puts it in the moment equation, or one writes that the bar is taken to be light.

Links

Topics: Statics and equilibrium Concepts: Levers · Static equilibrium · Moment of a force Skills: Balance of moments

See also: Rigid body and rotational equilibrium · Equilibrium of a rigid body · Seesaw and fulcrum · Ideal rope and pulleys

Sapere che un corpo è in equilibrio non basta: conta anche che cosa succede se lo si sposta di poco. Una matita appoggiata sulla punta e una matita appesa per un’estremità sono entrambe in equilibrio, ma la prima cade al minimo soffio e la seconda torna da sola dov’era. Le condizioni viste in Equilibrio del punto materiale e Corpo rigido ed equilibrio rotazionale dicono se c’è equilibrio; qui si capisce di che tipo è.

Tre tipi di equilibrio

Si sposta di poco il corpo dalla posizione di equilibrio e si guarda che cosa fanno le forze:

• Stabile: nascono forze (o momenti) che lo riportano indietro. Esempio: una pallina sul fondo di una ciotola, un quadro appeso al chiodo.
• Instabile: nascono forze che lo allontanano ancora di più. Esempio: una pallina in cima a una cupola, una matita in equilibrio sulla punta.
• Indifferente: nella nuova posizione il corpo è ancora in equilibrio e resta lì. Esempio: una pallina su un tavolo orizzontale, una ruota che gira attorno al proprio asse passante per il baricentro.

Criterio dell’energia potenziale. Per un corpo soggetto solo al peso (e a vincoli), l’energia potenziale è $U = mgh_G$, dove $h_G$ è la quota del baricentro. Allora: $\ev{\text{stabile: } U \text{ minima} \qquad \text{instabile: } U \text{ massima} \qquad \text{indifferente: } U \text{ costante}}$ Detto con il baricentro: se spostando il corpo il baricentro sale, l’equilibrio è stabile; se scende, è instabile; se resta alla stessa quota, è indifferente. La natura “preferisce” far scendere il baricentro: un corpo lasciato libero si muove verso energia potenziale più bassa.

Equilibrio stabile: la pallina sul fondo della valle. Se la si sposta, il baricentro sale e la componente del peso lungo il pendio la riporta al centro.

Equilibrio instabile: la pallina sulla cresta. Basta uno spostamento piccolissimo perché il baricentro scenda e la pallina si allontani sempre di più.

Equilibrio indifferente: la pallina sul piano orizzontale. In ogni posizione il baricentro è alla stessa quota, quindi ogni posizione è di equilibrio.

Corpi appesi e corpi appoggiati

• Un corpo appeso per un punto è in equilibrio stabile se il baricentro sta sotto il punto di sospensione (il quadro, il pendolo), instabile se sta esattamente sopra, indifferente se il punto di sospensione coincide con il baricentro.
• Un corpo appoggiato su una base è in equilibrio finché la verticale per il baricentro cade dentro la base d’appoggio. Più la base è larga e il baricentro è basso, più l’equilibrio è stabile: bisogna inclinare molto il corpo prima che la verticale esca dalla base e il corpo si ribalti. Per questo le auto da corsa sono basse e larghe, e un camion carico in alto si ribalta più facilmente in curva.
• La nave. Una nave sta dritta grazie al bilancio fra il peso, applicato nel baricentro, e la spinta di Archimede, applicata nel centro di spinta (il baricentro dell’acqua spostata). Quando la nave si inclina, la parte immersa cambia forma e il centro di spinta si sposta verso il lato più immerso: se il baricentro non è troppo alto, peso e spinta formano una coppia che la raddrizza. Per questo la zavorra si mette in basso: abbassare il baricentro rende la nave più stabile.

Per esercitarsi con i momenti si possono riprendere le leve; il legame fra forza ed energia potenziale torna nello studio dell’energia meccanica.

Knowing that a body is in equilibrium is not enough: what also matters is what happens if it is displaced slightly. A pencil balanced on its tip and a pencil hanging from one end are both in equilibrium, but the first falls at the slightest breath while the second returns by itself to where it was. The conditions seen in Equilibrium of a point mass and Rigid bodies and rotational equilibrium tell us whether there is equilibrium; here we find out what kind it is.

Three kinds of equilibrium

Displace the body slightly from the equilibrium position and look at what the forces do:

• Stable: forces (or moments) appear that bring it back. Example: a ball at the bottom of a bowl, a picture hanging from a nail.
• Unstable: forces appear that push it further away. Example: a ball on top of a dome, a pencil balanced on its tip.
• Neutral: in the new position the body is still in equilibrium and stays there. Example: a ball on a horizontal table, a wheel turning about its own axis through the centre of gravity.

Potential energy criterion. For a body subject only to its weight (and to constraints), the potential energy is $U = mgh_G$, where $h_G$ is the height of the centre of gravity. Then: $\ev{\text{stable: } U \text{ minimum} \qquad \text{unstable: } U \text{ maximum} \qquad \text{neutral: } U \text{ constant}}$ In terms of the centre of gravity: if displacing the body raises the centre of gravity, the equilibrium is stable; if it lowers it, it is unstable; if it stays at the same height, it is neutral. Nature “prefers” to lower the centre of gravity: a body left free moves towards lower potential energy.

Stable equilibrium: the ball at the bottom of the valley. If it is displaced, the centre of gravity rises and the component of the weight along the slope brings it back to the centre.

Unstable equilibrium: the ball on the crest. A tiny displacement is enough for the centre of gravity to drop and the ball to move further and further away.

Neutral equilibrium: the ball on the horizontal plane. In every position the centre of gravity is at the same height, so every position is an equilibrium position.

Hanging bodies and resting bodies

• A body hanging from a point is in stable equilibrium if the centre of gravity is below the point of suspension (the picture, the pendulum), unstable if it is exactly above, neutral if the point of suspension coincides with the centre of gravity.
• A body resting on a base is in equilibrium as long as the vertical through the centre of gravity falls inside the base of support. The wider the base and the lower the centre of gravity, the more stable the equilibrium: the body must be tilted a lot before the vertical leaves the base and it tips over. That is why racing cars are low and wide, and a lorry loaded high up tips over more easily on a bend.
• The ship. A ship stays upright thanks to the balance between its weight, applied at the centre of gravity, and Archimedes’ buoyancy, applied at the centre of buoyancy (the centre of gravity of the displaced water). When the ship heels, the submerged part changes shape and the centre of buoyancy shifts towards the more submerged side: provided the centre of gravity is not too high, weight and buoyancy form a couple that rights it. That is why ballast is placed low down: lowering the centre of gravity makes the ship more stable.

To practise with moments, go back to levers; the link between force and potential energy returns in the study of mechanical energy.