Momento di una forza (momento torcente)

Per descrivere la rotazione dei corpi rigidi serve il concetto di momento di una forza (detto anche momento torcente), che introduciamo qui come naturale estensione del centro di massa. Da esso discendono le condizioni di equilibrio del corpo rigido.

• Momento di una forza
  • Formula chiave — Coppia di forze e momento di una coppia
• Equilibrio del corpo rigido

To describe the rotation of rigid bodies we need the concept of moment of a force (or torque), which we introduce here as a natural extension of the centre of mass. From it follow the conditions for equilibrium of a rigid body.

• Moment of a force
  • Key formula — Couple of forces and moment of a couple
• Equilibrium of a rigid body

Per descrivere la rotazione dei corpi rigidi serve un nuovo concetto: il momento di una forza (detto anche momento torcente). Misura non l’intensità di una forza, ma la sua capacità di far ruotare un corpo attorno a un punto. Chiunque abbia aperto una porta lo sa per esperienza: spingere lontano dai cardini è molto più efficace che spingere vicino ad essi, a parità di forza.

Principio — Momento di una forza

Il momento di una forza $\vec{F}$ rispetto a un punto O è $M = |\vec{F}| \cdot b$ dove $b$ è il braccio: la distanza perpendicolare tra la retta d’azione della forza e il punto O.

Il braccio è la vera protagonista: non conta dove è applicata la forza, ma quanto la sua retta d’azione passa “larga” rispetto al punto O. Equivalentemente, usando la distanza $r$ tra O e il punto di applicazione e l’angolo $\theta$ tra $\vec{r}$ e $\vec{F}$:

$M = |\vec{F}|\cdot r\cdot\sin\theta$

Il $\sin\theta$ estrae proprio la componente di $\vec{F}$ perpendicolare a $\vec{r}$: solo quella fa ruotare. Una forza diretta lungo $\vec{r}$ (verso il punto O o via da esso) ha momento nullo.

Formula chiave

$M = F \cdot b \qquad M = F\,r\,\sin\theta$ $M > 0:\ \text{antiorario} \qquad M < 0:\ \text{orario}$

Il segno codifica il verso di rotazione: per convenzione, positivo se la forza tende a far girare in senso antiorario, negativo in senso orario.

Formula chiave — Coppia di forze e momento di una coppia

Una coppia di forze è formata da due forze di uguale intensità $F$, stessa direzione e versi opposti, applicate allo stesso corpo lungo rette d’azione diverse. La risultante è nulla, quindi la coppia non sposta il centro di massa; il momento totale invece non è nullo, e la coppia fa soltanto ruotare il corpo. È il caso citato nell’avvertenza di Equilibrio del corpo rigido: $\sum\vec{F} = \vec{0}$ ma $\sum M \neq 0$.

Il braccio della coppia $b$ è la distanza fra le due rette d’azione. Il momento della coppia ha modulo

$\ev{|M| = F\cdot b}$

e il segno della convenzione di questa pagina: positivo se la coppia fa girare in senso antiorario, negativo se in senso orario (la coppia della figura è oraria: $M = -F\,b$).

Non dipende dal polo. Prendiamo un polo O qualsiasi e chiamiamo $d_1$ e $d_2$ le sue distanze dalle due rette d’azione. Se O sta fuori dalla striscia compresa fra le rette, $d_2 = d_1 + b$ e i due momenti hanno segni opposti: in modulo $F\,d_2 - F\,d_1 = F\,b$. Se O sta fra le due rette, $d_1 + d_2 = b$ e i momenti hanno lo stesso segno: $F\,d_1 + F\,d_2 = F\,b$. In tutti e due i casi si trova $F\,b$, con lo stesso verso di rotazione: per una coppia non serve scegliere il polo. È un caso particolare della proprietà già vista in Equilibrio del corpo rigido: quando la risultante delle forze è nulla, la somma dei momenti è la stessa rispetto a qualunque polo (OpenStax, University Physics Volume 1, §12.1).

Coppia o forza singola? Una forza sola, applicata fuori dal centro di massa, fa traslare e ruotare il corpo. Per farlo ruotare senza spostarlo servono due forze, cioè una coppia. Per questo conviene girare il volante con due mani in punti opposti: le due forze formano una coppia e il piantone non viene spinto di lato. Con una mano sola il volante gira lo stesso, perché la seconda forza la fornisce il piantone.

Esempi (numeri indicativi, scelti per fare i conti):

• Volante. Le mani stanno agli estremi di un diametro di $38\;\text{cm}$ e spingono con $20\;\text{N}$ ciascuna, una verso l’alto e una verso il basso: $|M| = 20\cdot 0{,}38 = 7{,}6\;\text{N}\cdot\text{m}$.
• Cacciavite. Le dita esercitano sul manico, in punti opposti, due forze tangenti alla superficie (per attrito) e di verso opposto; il braccio della coppia è circa il diametro del manico. A parità di forza un manico più grosso dà un momento maggiore: con due forze di $30\;\text{N}$ a $4{,}0\;\text{cm}$ di distanza, $|M| = 30\cdot 0{,}040 = 1{,}2\;\text{N}\cdot\text{m}$.
• Rubinetto. Pollice e indice spingono in versi opposti ai due capi di una manopola a croce: con $2{,}0\;\text{N}$ ciascuno e $10\;\text{cm}$ fra i due punti, $|M| = 2{,}0\cdot 0{,}10 = 0{,}20\;\text{N}\cdot\text{m}$.
• Ago della bussola e spira percorsa da corrente. In un campo magnetico uniforme le forze sui due poli dell’ago, o sui due lati della spira, formano una coppia: l’ago si orienta e la spira gira senza spostarsi (vedi Coppia ed energia di un dipolo magnetico).

Coppia di forze: risultante nulla, momento di modulo $F\,b$, qui in senso orario ($M = -F\,b$); rispetto a un polo O qualsiasi, $F\,d_2 - F\,d_1 = F\,b$.

▶8.01x Lez. 21 — Momenti e pendolo fisico — Walter Lewin

Collegamenti

Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Momento di una forza

Esercizi collegati: Esercizio svolto — La porta con due forze · Esercizio svolto — Sistema con due masse e puleggia · Esercizio svolto — Giostra quadrata

To describe the rotation of rigid bodies we need a new concept: the moment of a force (or torque). It measures not the strength of a force, but its ability to make a body rotate about a point. Anyone who has ever opened a door knows this from experience: pushing far from the hinges is much more effective than pushing close to them, for the same force.

Principle — Moment of a force

The moment of a force $\vec{F}$ about a point O is $M = |\vec{F}| \cdot b$ where $b$ is the arm: the perpendicular distance between the force’s line of action and the point O.

The arm is the real protagonist: what matters is not where the force is applied, but how “wide” its line of action passes relative to point O. Equivalently, using the distance $r$ between O and the point of application and the angle $\theta$ between $\vec{r}$ and $\vec{F}$:

$M = |\vec{F}|\cdot r\cdot\sin\theta$

The $\sin\theta$ extracts exactly the component of $\vec{F}$ perpendicular to $\vec{r}$: only that component causes rotation. A force directed along $\vec{r}$ (towards point O or away from it) has zero moment.

Key formula

$M = F \cdot b \qquad M = F\,r\,\sin\theta$ $M > 0:\ \text{anticlockwise} \qquad M < 0:\ \text{clockwise}$

The sign encodes the direction of rotation: by convention, positive if the force tends to turn anticlockwise, negative if clockwise.

Key formula — Couple of forces and moment of a couple

A couple of forces is made of two forces of equal magnitude $F$, same direction and opposite senses, applied to the same body along different lines of action. The resultant is zero, so a couple does not move the centre of mass; the total moment, however, is not zero, so the couple only makes the body rotate. This is the case mentioned in the warning of Equilibrium of a rigid body: $\sum\vec{F} = \vec{0}$ but $\sum M \neq 0$.

The arm of the couple $b$ is the distance between the two lines of action. The moment of the couple has magnitude

$\ev{|M| = F\cdot b}$

and the sign of the convention used on this page: positive if the couple turns the body anticlockwise, negative if clockwise (the couple in the figure is clockwise: $M = -F\,b$).

It does not depend on the pivot. Take any point O and call $d_1$ and $d_2$ its distances from the two lines of action. If O lies outside the strip between the lines, $d_2 = d_1 + b$ and the two moments have opposite signs: in magnitude $F\,d_2 - F\,d_1 = F\,b$. If O lies between the lines, $d_1 + d_2 = b$ and the moments have the same sign: $F\,d_1 + F\,d_2 = F\,b$. Either way the result is $F\,b$, with the same sense of rotation: for a couple there is no need to choose a pivot. This is a special case of the property already seen in Equilibrium of a rigid body: when the resultant force is zero, the sum of the moments is the same about any pole (OpenStax, University Physics Volume 1, §12.1).

Couple or single force? A single force applied away from the centre of mass makes the body translate and rotate. To make it rotate without moving it you need two forces, that is, a couple. This is why it is better to turn a steering wheel with two hands at opposite points: the two forces form a couple and the steering column is not pushed sideways. With one hand the wheel still turns, because the column supplies the second force.

Examples (indicative numbers, chosen to make the arithmetic easy):

• Steering wheel. The hands are at the ends of a $38\;\text{cm}$ diameter and push with $20\;\text{N}$ each, one up and one down: $|M| = 20\cdot 0.38 = 7.6\;\text{N}\cdot\text{m}$.
• Screwdriver. The fingers exert on the handle, at opposite points, two forces tangent to its surface (through friction) and in opposite senses; the arm of the couple is about the diameter of the handle. For the same force a thicker handle gives a larger moment: with two forces of $30\;\text{N}$ that are $4.0\;\text{cm}$ apart, $|M| = 30\cdot 0.040 = 1.2\;\text{N}\cdot\text{m}$.
• Tap. Thumb and index finger push in opposite senses at the two ends of a cross-shaped handle: with $2.0\;\text{N}$ each and $10\;\text{cm}$ between the two points, $|M| = 2.0\cdot 0.10 = 0.20\;\text{N}\cdot\text{m}$.
• Compass needle and current loop. In a uniform magnetic field the forces on the two poles of the needle, or on the two sides of the loop, form a couple: the needle lines up and the loop turns without moving (see Torque and energy of a magnetic dipole).

Couple of forces: zero resultant, moment of magnitude $F\,b$, here clockwise ($M = -F\,b$); about any point O, $F\,d_2 - F\,d_1 = F\,b$.

▶8.01x Lect 21 — Torques and Physical Pendulums — Walter Lewin

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Topics: Statics and equilibrium Concepts: Moment of a force

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Per un punto materiale l’equilibrio è una sola condizione: forza netta nulla. Un corpo rigido, che oltre a traslare può ruotare, ha bisogno di due condizioni simultanee.

Legge — Condizioni di equilibrio

Un corpo rigido è in equilibrio quando:

1. $\sum\vec{F} = \vec{0}$ (equilibrio traslazionale);
2. $\sum M = 0$ (equilibrio rotazionale, rispetto a qualsiasi punto).

La seconda condizione ha una proprietà comoda: se la prima è soddisfatta (forza netta nulla), allora la somma dei momenti è la stessa rispetto a qualunque polo. Si può quindi scegliere il polo più conveniente — di solito quello in cui passano più forze incognite, così da eliminarle dal bilancio dei momenti.

Attenzione — Una condizione sola non basta

La prima condizione da sola non basta! Un corpo con $\sum\vec{F}=\vec{0}$ ma $\sum M\neq 0$ ruota senza traslare (è il caso di una coppia di forze). Viceversa, $\sum M = 0$ con $\sum\vec{F}\neq\vec{0}$ dà una traslazione senza rotazione. Servono entrambe per la quiete completa.

L’esercizio svolto La porta con due forze mostra come si calcola il momento risultante rispetto a un polo (la cerniera) e si verifica se il corpo è in equilibrio rotazionale.

Collegamenti

Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Equilibrio statico · Momento di una forza Competenze: Bilancio dei momenti

Esercizi collegati: Esercizio svolto — La porta con due forze · Esercizio svolto — Sistema con due masse e puleggia · Esercizio svolto — Giostra quadrata

For a point mass, equilibrium is a single condition: zero net force. A rigid body, which can rotate as well as translate, needs two simultaneous conditions.

Law — Conditions for equilibrium

A rigid body is in equilibrium when:

1. $\sum\vec{F} = \vec{0}$ (translational equilibrium);
2. $\sum M = 0$ (rotational equilibrium, about any point).

The second condition has a convenient property: if the first is satisfied (zero net force), then the sum of the moments is the same about any pole. You can therefore choose the most convenient pole — usually the one through which most unknown forces pass, so as to eliminate them from the moment balance.

Warning — One condition alone is not enough

The first condition alone is not enough! A body with $\sum\vec{F}=\vec{0}$ but $\sum M\neq 0$ rotates without translating (this is the case of a couple of forces). Conversely, $\sum M = 0$ with $\sum\vec{F}\neq\vec{0}$ gives translation without rotation. Both are needed for complete rest.

The worked exercise The door with two forces shows how to compute the resultant moment about a pole (the hinge) and check whether the body is in rotational equilibrium.

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Topics: Statics and equilibrium Concepts: Static equilibrium · Moment of a force Skills: Moment balance

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