Pressione e legge dei gas perfetti

La pressione di un gas nasce dagli urti delle molecole sulle pareti. Questa sezione parte dall’origine microscopica della pressione e arriva a derivare, dalla sola teoria cinetica, l’equazione di stato del gas ideale $PV = nRT$: il ponte fra il mondo invisibile degli atomi e grandezze misurabili come pressione e temperatura.

• Origine microscopica della pressione
• Derivazione della legge dei gas perfetti

Prova tu — simulazione interattiva

Comprimi il gas, scaldalo o aggiungi particelle e osserva come pressione, volume e temperatura si legano secondo la legge dei gas perfetti.

The pressure of a gas arises from molecules colliding with the walls. This section starts from the microscopic origin of pressure and arrives, from kinetic theory alone, at the ideal gas equation of state $PV = nRT$: the bridge between the invisible world of atoms and measurable quantities such as pressure and temperature.

• Microscopic origin of pressure
• Derivation of the ideal gas law

Try it — interactive simulation

Compress the gas, heat it or add particles and watch how pressure, volume and temperature relate through the ideal-gas law.

La pressione è generata dagli urti delle particelle sulle pareti del contenitore. Una particella che rimbalza elasticamente su una parete inverte la componente perpendicolare della sua velocità, e per la terza legge di Newton cede alla parete un impulso pari alla variazione della propria quantità di moto. Sommati su miliardi di urti al secondo, questi impulsi danno una forza media costante, e la forza per unità di superficie è la pressione.

L’immagine microscopica spiega subito da cosa dipende la pressione:

• più le particelle sono veloci (alta temperatura), maggiore è l’impulso ceduto a ogni urto e più frequenti sono gli urti;
• più le particelle sono numerose (alta densità), più urti avvengono nello stesso tempo.

In entrambi i casi la pressione aumenta. È la traduzione microscopica di un fatto macroscopico familiare: un gas caldo o compresso spinge di più sulle pareti.

Legame con la temperatura

Poiché la temperatura misura l’energia cinetica media delle molecole, dire “gas più caldo” equivale a dire “molecole più veloci”. Questo è il filo che, nella prossima nota, permette di trasformare l’immagine degli urti nell’equazione di stato $PV = nRT$.

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Pressure is generated by particles colliding with the walls of the container. A particle that bounces elastically off a wall reverses the perpendicular component of its velocity, and by Newton’s third law transfers to the wall an impulse equal to the change in its own momentum. Summed over billions of collisions per second, these impulses give a constant average force, and the force per unit area is the pressure.

The microscopic picture immediately explains what pressure depends on:

• the faster the particles are (high temperature), the greater the impulse transferred at each collision and the more frequent the collisions;
• the more numerous the particles are (high density), the more collisions occur in the same time.

In both cases the pressure increases. This is the microscopic translation of a familiar macroscopic fact: a hot or compressed gas pushes harder on the walls.

Link with temperature

Since temperature measures the average kinetic energy of the molecules, saying “hotter gas” is equivalent to saying “faster molecules”. This is the thread that, in the next note, allows us to turn the picture of collisions into the equation of state $PV = nRT$.

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La teoria cinetica permette di calcolare esplicitamente la pressione esercitata da $N$ particelle in un volume $V$, in funzione della loro energia cinetica totale $E_\text{cin}$. Il risultato è sorprendentemente semplice:

$P = \frac{2}{3}\,\frac{E_{\text{cin}}}{V}$

A questo punto basta usare il legame fra energia cinetica e temperatura. Per un gas ideale l’energia cinetica traslazionale totale è $E_{\text{cin}} = \frac{3}{2}Nk_BT$; sostituendo:

$PV = \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}Nk_BT = Nk_BT = nRT$

dove nell’ultimo passaggio si è usato $N = n\,N_A$ e $R = N_A k_B$ per passare dal numero di molecole $N$ al numero di moli $n$.

Legge — Equazione di stato del gas ideale

$\ev{PV = nRT}$

Il significato è profondo: un’equazione fra grandezze macroscopiche e misurabili (pressione, volume, temperatura) emerge interamente da un modello microscopico di palline che rimbalzano. La derivazione microscopica lega il mondo invisibile degli atomi a strumenti da laboratorio come manometro e termometro.

Contesto storico

Questa equazione fu scoperta sperimentalmente da Boyle (1662), Charles (1787) e Gay-Lussac (1802), assemblando le leggi empiriche sui gas, e solo in seguito derivata dalla teoria cinetica da Clausius nel 1857. È un esempio classico in cui la spiegazione teorica arriva dopo, e unifica, una serie di regolarità sperimentali già note.

Legge di Dalton — miscele di gas e pressioni parziali

L’aria non è un gas solo: è una miscela, soprattutto di azoto e ossigeno. Come si calcola la pressione di una miscela?

In un gas ideale le molecole non interagiscono fra loro se non negli urti istantanei: ciascuna rimbalza sulle pareti per conto suo. Nella derivazione qui sopra la pressione nasce dalla somma degli urti delle singole molecole sulle pareti, quindi le molecole di un gas danno il loro contributo come se gli altri gas non ci fossero. Si chiama pressione parziale $P_i$ di un gas la pressione che quel gas avrebbe se occupasse da solo tutto il volume $V$ alla stessa temperatura: $P_i = \frac{n_i R T}{V}$

Legge — Dalton (1801)

La pressione totale di una miscela di gas ideali è la somma delle pressioni parziali: $\ev{P_\text{tot} = P_1 + P_2 + \ldots = \sum_i P_i}$ e ciascuna pressione parziale è la frazione molare $x_i = n_i/n_\text{tot}$ della pressione totale: $\ev{P_i = x_i\,P_\text{tot}}$

La seconda formula segue dalla prima: dividendo $P_i = n_i RT/V$ per $P_\text{tot} = n_\text{tot} RT/V$ si ottiene $P_i/P_\text{tot} = n_i/n_\text{tot}$.

L’aria. In volume (cioè in moli) l’aria secca è circa il $78\%$ azoto e il $21\%$ ossigeno, più l’$1\%$ circa di argon e altri gas. Al livello del mare, con $P_\text{tot} \approx 101$ kPa, la pressione parziale dell’ossigeno è $P_{\text{O}_2} \approx 0{,}21 \cdot 101 \approx 21$ kPa. In alta montagna la frazione resta la stessa, ma $P_\text{tot}$ è più bassa: cala la pressione parziale dell’ossigeno, ed è per questo che si respira a fatica.

Esercizio. In una bombola di $10{,}0$ L a $300$ K ci sono $2{,}0$ mol di azoto e $1{,}0$ mol di ossigeno. Calcola la pressione totale e le pressioni parziali.

Soluzione. $n_\text{tot} = 3{,}0$ mol, $V = 1{,}00\cdot 10^{-2}$ m³. $P_\text{tot} = \frac{n_\text{tot} R T}{V} = \frac{3{,}0 \cdot 8{,}31 \cdot 300}{1{,}00\cdot 10^{-2}} \approx 7{,}5\cdot 10^5\;\text{Pa}$ Frazioni molari: $x_{\text{N}_2} = 2/3$, $x_{\text{O}_2} = 1/3$. Quindi $P_{\text{N}_2} \approx 5{,}0\cdot 10^5$ Pa e $P_{\text{O}_2} \approx 2{,}5\cdot 10^5$ Pa. Controllo: $5{,}0 + 2{,}5 = 7{,}5$ (in $10^5$ Pa).

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Kinetic theory allows us to explicitly calculate the pressure exerted by $N$ particles in a volume $V$, as a function of their total kinetic energy $E_\text{cin}$. The result is surprisingly simple:

$P = \frac{2}{3}\,\frac{E_{\text{cin}}}{V}$

At this point it is enough to use the link between kinetic energy and temperature. For an ideal gas the total translational kinetic energy is $E_{\text{cin}} = \frac{3}{2}Nk_BT$; substituting:

$PV = \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}Nk_BT = Nk_BT = nRT$

where in the last step $N = n\,N_A$ and $R = N_A k_B$ were used to go from the number of molecules $N$ to the number of moles $n$.

Law — Ideal gas equation of state

$\ev{PV = nRT}$

The significance is profound: an equation between macroscopic, measurable quantities (pressure, volume, temperature) emerges entirely from a microscopic model of bouncing balls. The microscopic derivation links the invisible world of atoms to laboratory instruments such as a pressure gauge and a thermometer.

Historical context

This equation was discovered experimentally by Boyle (1662), Charles (1787) and Gay-Lussac (1802), assembling the empirical gas laws, and only later derived from kinetic theory by Clausius in 1857. It is a classic example in which the theoretical explanation arrives afterwards, unifying a series of already known experimental regularities.

Dalton's law — gas mixtures and partial pressures

Air is not a single gas: it is a mixture, mostly nitrogen and oxygen. How do we find the pressure of a mixture?

In an ideal gas the molecules do not interact except in instantaneous collisions: each one bounces off the walls on its own. In the derivation above, pressure comes from the sum of the individual molecules’ impacts on the walls, so the molecules of one gas contribute as if the other gases were not there. The partial pressure $P_i$ of a gas is the pressure it would have if it filled the whole volume $V$ alone at the same temperature: $P_i = \frac{n_i R T}{V}$

Law — Dalton (1801)

The total pressure of a mixture of ideal gases is the sum of the partial pressures: $\ev{P_\text{tot} = P_1 + P_2 + \ldots = \sum_i P_i}$ and each partial pressure is the mole fraction $x_i = n_i/n_\text{tot}$ of the total: $\ev{P_i = x_i\,P_\text{tot}}$

The second formula follows from the first: dividing $P_i = n_i RT/V$ by $P_\text{tot} = n_\text{tot} RT/V$ gives $P_i/P_\text{tot} = n_i/n_\text{tot}$.

Air. By volume (i.e. by moles) dry air is about $78\%$ nitrogen and $21\%$ oxygen, plus about $1\%$ argon and other gases. At sea level, with $P_\text{tot} \approx 101$ kPa, the partial pressure of oxygen is $P_{\text{O}_2} \approx 0.21 \times 101 \approx 21$ kPa. High in the mountains the fraction is the same but $P_\text{tot}$ is lower: the oxygen partial pressure drops, which is why breathing is hard.

Exercise. A $10.0$ L cylinder at $300$ K contains $2.0$ mol of nitrogen and $1.0$ mol of oxygen. Find the total pressure and the partial pressures.

Solution. $n_\text{tot} = 3.0$ mol, $V = 1.00\times 10^{-2}$ m³. $P_\text{tot} = \frac{n_\text{tot} R T}{V} = \frac{3.0 \times 8.31 \times 300}{1.00\times 10^{-2}} \approx 7.5\times 10^5\;\text{Pa}$ Mole fractions: $x_{\text{N}_2} = 2/3$, $x_{\text{O}_2} = 1/3$. So $P_{\text{N}_2} \approx 5.0\times 10^5$ Pa and $P_{\text{O}_2} \approx 2.5\times 10^5$ Pa. Check: $5.0 + 2.5 = 7.5$ (in $10^5$ Pa).

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