Capacità termica e calore specifico

Riscaldare un corpo richiede energia, e la quantità dipende dalla massa e dal materiale. Questa sezione introduce la capacità termica, il calore specifico e l’equazione fondamentale della calorimetria $Q = m\,c\,\Delta T$, il legame storico fra caloria e joule, e il bilancio calorimetrico delle miscele che permette di trovare la temperatura di equilibrio.

• Capacità termica e calore specifico
• La caloria e il joule
• L’equazione calorimetrica delle miscele
  • Formula chiave — Equivalente in acqua del calorimetro

Heating a body requires energy, and the amount depends on the mass and the material. This section introduces heat capacity, specific heat and the fundamental equation of calorimetry $Q = m\,c\,\Delta T$, the historical link between the calorie and the joule, and the calorimetric balance of mixtures used to find the equilibrium temperature.

• Heat capacity and specific heat
• The calorie and the joule
• The calorimetric equation of mixtures
  • Key formula — Water equivalent of the calorimeter

Riscaldare di $1\,°$C un corpo richiede una certa quantità di energia, che chiamiamo capacità termica $C$ (unità $\text{J/K}$). La capacità termica dipende però sia dal materiale sia da quanto materiale c’è: raddoppiando la massa, raddoppia l’energia richiesta. Conviene allora separare i due effetti scrivendo

$C = m\,c$

dove $c$ è il calore specifico (unità $\text{J/(kg K)}$), una proprietà del materiale e non della singola quantità. Il calore specifico dice quanti joule servono per alzare di un grado un chilogrammo di sostanza.

Principio — Equazione fondamentale della calorimetria

Il calore $Q$ scambiato da un corpo di massa $m$ e calore specifico $c$ quando la sua temperatura varia di $\Delta T$ è $\ev{Q = m\,c\,\Delta T}$ con $Q > 0$ se il corpo assorbe (la temperatura sale) e $Q < 0$ se cede.

Poiché nella formula compare solo la differenza $\Delta T$, è indifferente esprimerla in $°$C o in K. I valori del calore specifico variano di quasi un ordine di grandezza fra le sostanze comuni:

L'acqua e il clima delle coste

L’acqua ha il calore specifico più alto delle sostanze comuni, $4186$ J/(kg·K), quasi un ordine di grandezza sopra quasi tutti gli altri materiali. Serve dunque moltissima energia per scaldarla, e altrettanta ne rilascia raffreddandosi: è per questo che il mare fa da volano termico e modera il clima delle coste, con estati più fresche e inverni più miti dell’entroterra.

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Heating a body by $1\,°$C requires a certain amount of energy, which we call heat capacity $C$ (unit $\text{J/K}$). Heat capacity, however, depends both on the material and on how much material there is: doubling the mass doubles the energy required. It is therefore useful to separate the two effects by writing

$C = m\,c$

where $c$ is the specific heat (unit $\text{J/(kg K)}$), a property of the material rather than of the particular quantity. The specific heat tells us how many joules are needed to raise the temperature of one kilogram of substance by one degree.

Principle — Fundamental equation of calorimetry

The heat $Q$ exchanged by a body of mass $m$ and specific heat $c$ when its temperature changes by $\Delta T$ is $\ev{Q = m\,c\,\Delta T}$ with $Q > 0$ if the body absorbs heat (temperature rises) and $Q < 0$ if it releases heat.

Since only the difference $\Delta T$ appears in the formula, it makes no difference whether it is expressed in $°$C or in K. Specific heat values vary by almost an order of magnitude between common substances:

Water and the coastal climate

Water has the highest specific heat of any common substance, $4186$ J/(kg·K), almost an order of magnitude above nearly all other materials. It therefore takes a huge amount of energy to heat it, and it releases just as much on cooling: this is why the sea acts as a thermal flywheel and moderates the climate of coastlines, giving cooler summers and milder winters than inland areas.

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Storicamente, quando il calore era ancora pensato come un fluido, lo si misurava in calorie anziché in joule. Una caloria è definita come l’energia che alza di $1\,°$C la temperatura di $1$ g di acqua. Il legame moderno con l’unità di energia del Sistema Internazionale è

$\ev{1\;\text{cal} = 4{,}186\;\text{J}}$

Questa equivalenza — l’equivalente meccanico del calore — è la prova quantitativa che il calore è energia, misurabile nelle stesse unità del lavoro meccanico.

Da dove viene il 4,186?

Dal mulinello di Joule: pesi che scendono fanno girare delle pale nell’acqua e la scaldano. Confrontando l’energia potenziale persa dai pesi (in joule) con l’energia termica acquistata dall’acqua (in calorie) si ottiene quanti joule valgono una caloria. L’esperimento, con il bilancio e un esempio numerico, è in Joule e l’equivalente meccanico del calore.

Caloria alimentare

La caloria alimentare (Cal con la C maiuscola, o kcal) vale $1000$ cal, cioè $4186$ J. Quando un’etichetta dichiara ”$800$ Cal”, intende $800$ kilocalorie.

Per farsi un’idea degli ordini di grandezza: una pizza margherita ($\sim 800$ Cal) contiene circa $3{,}3\;\text{MJ}$. È abbastanza energia da sollevare una persona di $70$ kg di quasi $4{,}9$ km, se il corpo umano fosse una macchina a rendimento $1$ — cosa che, per fortuna o purtroppo, non è.

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Historically, when heat was still thought of as a fluid, it was measured in calories rather than joules. A calorie is defined as the energy that raises the temperature of $1$ g of water by $1\,°$C. The modern link with the SI unit of energy is

$\ev{1\;\text{cal} = 4{,}186\;\text{J}}$

This equivalence — the mechanical equivalent of heat — is the quantitative proof that heat is energy, measurable in the same units as mechanical work.

Where does 4.186 come from?

From Joule’s paddle wheel: falling weights turn paddles in water and warm it. Comparing the potential energy lost by the weights (in joules) with the thermal energy gained by the water (in calories) gives how many joules make one calorie. The experiment, with the balance and a worked example, is in Joule and the mechanical equivalent of heat.

Food calorie

The food calorie (Cal with a capital C, or kcal) equals $1000$ cal, i.e. $4186$ J. When a label states ”$800$ Cal”, it means $800$ kilocalories.

To get a sense of the orders of magnitude: a margherita pizza ($\sim 800$ Cal) contains about $3{,}3\;\text{MJ}$. That is enough energy to lift a $70$ kg person almost $4{,}9$ km, if the human body were a machine with efficiency $1$ — which, fortunately or unfortunately, it is not.

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Quando si mescolano due o più corpi a temperature diverse in un sistema termicamente isolato, dopo un po’ raggiungono tutti la stessa temperatura di equilibrio $T_e$. Il principio in gioco è la conservazione dell’energia: il calore ceduto dai corpi caldi è esattamente pari a quello assorbito dai corpi freddi, perché nulla esce dal sistema isolato.

Equazione calorimetrica delle miscele

In un sistema isolato la somma dei calori scambiati è nulla: $\ev{\sum_i m_i\,c_i\,(T_e - T_i) = 0}$ I corpi caldi ($T_i > T_e$) danno contributo negativo (cedono), quelli freddi ($T_i < T_e$) positivo (assorbono).

Risolvere l’equazione rispetto a $T_e$ dà una media pesata delle temperature iniziali, con pesi le capacità termiche $m_i c_i$:

$T_e = \frac{\sum_i m_i\,c_i\,T_i}{\sum_i m_i\,c_i}$

Ne segue una lettura fisica importante: un corpo con grande massa o grande calore specifico “pesa” di più nel bilancio e trascina $T_e$ verso il proprio valore iniziale. È la ragione per cui una grande massa d’acqua tiepida viene scaldata pochissimo da un piccolo oggetto rovente immerso in essa (vedi l’esempio della pentola di rame).

Attenzione ai kelvin

Nell’equazione compaiono solo differenze $T_e - T_i$, quindi si può lavorare direttamente in $°$C senza convertire. La conversione in kelvin diventa invece indispensabile quando entrano in gioco rapporti di temperatura (irraggiamento, gas).

Formula chiave — Equivalente in acqua del calorimetro

L’equazione delle miscele scritta sopra vale per un calorimetro ideale, che non assorbe calore dal suo contenuto e non ne scambia con l’esterno. Un calorimetro vero invece si scalda o si raffredda insieme al suo contenuto: anche il recipiente interno, l’agitatore e il termometro assorbono una parte del calore. Questo contributo si descrive con la capacità termica del calorimetro $C_\text{cal}$, oppure con una massa d’acqua fittizia che avrebbe la stessa capacità termica, l’equivalente in acqua $m_e$:

$\ev{C_\text{cal} = m_e\,c_\text{acqua}}$

Nel bilancio il calorimetro entra come un corpo in più, che parte dalla temperatura dell’acqua che contiene: in pratica basta aggiungere $m_e$ alla massa d’acqua iniziale.

Come si misura: il metodo delle mescolanze. Nel calorimetro c’è una massa $m_1$ d’acqua a temperatura $T_1$, in equilibrio con il recipiente. Si versa una massa $m_2$ d’acqua più calda, a temperatura $T_2$, si agita e si legge la temperatura di equilibrio $T_e$. L’acqua calda cede calore, l’acqua fredda e il calorimetro lo assorbono:

$m_2\,c\,(T_2 - T_e) = (m_1 + m_e)\,c\,(T_e - T_1) \quad\Longrightarrow\quad m_e = m_2\,\frac{T_2 - T_e}{T_e - T_1} - m_1$

Il calore specifico $c$ dell’acqua si semplifica.

Esempio (dati di esempio). Nel calorimetro ci sono $m_1 = 200\;\text{g}$ d’acqua a $T_1 = 20{,}0\;^\circ\text{C}$; si versano $m_2 = 200\;\text{g}$ a $T_2 = 60{,}0\;^\circ\text{C}$ e l’equilibrio si legge a $T_e = 38{,}4\;^\circ\text{C}$. Con un calorimetro ideale ci si aspetterebbe $40{,}0\;^\circ\text{C}$, la media delle due temperature. Quindi

$m_e = 200\cdot\frac{60{,}0 - 38{,}4}{38{,}4 - 20{,}0} - 200 \approx 35\;\text{g} \qquad C_\text{cal} = 0{,}035\cdot 4186 \approx 147\;\mathrm{J/K}$

Il risultato è molto sensibile alla lettura del termometro: con $T_e = 38{,}3\;^\circ\text{C}$ si otterrebbero circa $37\;\text{g}$, con $38{,}5\;^\circ\text{C}$ circa $32\;\text{g}$. Per questo conviene lavorare con differenze di temperatura grandi e ripetere la misura.

Perché serve. Con lo stesso calorimetro ($m_e = 35\;\text{g}$) misuriamo il calore specifico dell’alluminio. Nel calorimetro ci sono $200\;\text{g}$ d’acqua a $20{,}0\;^\circ\text{C}$; vi si immergono $100\;\text{g}$ di alluminio a $100{,}0\;^\circ\text{C}$ e l’equilibrio si raggiunge a $26{,}7\;^\circ\text{C}$ (dati di esempio, costruiti con il valore in tabella). Tenendo conto del calorimetro,

$c_\text{Al} = \frac{(0{,}200 + 0{,}035)\cdot 4186\cdot(26{,}7 - 20{,}0)}{0{,}100\cdot(100{,}0 - 26{,}7)} \approx 9{,}0\cdot 10^{2}\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}$

in accordo con il valore della tabella dei calori specifici ($897\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}$). Dimenticando il calorimetro, al numeratore resterebbe solo $0{,}200$ e si troverebbero circa $765\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}$: il $15\%$ in meno.

Nell’esercizio Calorimetro di rame la capacità termica del calorimetro risulta $C_\text{cal} \approx 152\;\mathrm{J/K}$: corrisponde a un equivalente in acqua $m_e = 152/4186 \approx 0{,}036\;\text{kg}$, cioè circa $36\;\text{g}$.

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Argomenti: Termologia Concetti: Calore specifico e capacità termica Competenze: Equazione calorimetrica Metodi: Equazione calorimetrica delle miscele Oggetti: Calorimetro

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When two or more bodies at different temperatures are mixed in a thermally isolated system, after a while they all reach the same equilibrium temperature $T_e$. The principle at play is conservation of energy: the heat released by the hot bodies exactly equals that absorbed by the cold bodies, because nothing leaves the isolated system.

Calorimetric equation of mixtures

In an isolated system the sum of the exchanged heats is zero: $\ev{\sum_i m_i\,c_i\,(T_e - T_i) = 0}$ Hot bodies ($T_i > T_e$) contribute negatively (they release heat), cold bodies ($T_i < T_e$) contribute positively (they absorb heat).

Solving the equation for $T_e$ gives a weighted average of the initial temperatures, weighted by the heat capacities $m_i c_i$:

$T_e = \frac{\sum_i m_i\,c_i\,T_i}{\sum_i m_i\,c_i}$

An important physical reading follows: a body with large mass or large specific heat “weighs” more in the balance and pulls $T_e$ towards its own initial value. This is why a large mass of lukewarm water is heated very little by a small red-hot object immersed in it (see the example of the copper pot).

Watch out for kelvin

Only differences $T_e - T_i$ appear in the equation, so one can work directly in $°$C without converting. Conversion to kelvin becomes essential, on the other hand, whenever ratios of temperatures come into play (radiation, gases).

Key formula — Water equivalent of the calorimeter

The mixing equation above holds for an ideal calorimeter, which absorbs no heat from its contents and exchanges none with the surroundings. A real calorimeter, instead, warms up or cools down together with its contents: the inner vessel, the stirrer and the thermometer also absorb part of the heat. This contribution is described by the heat capacity of the calorimeter $C_\text{cal}$, or by a fictitious mass of water that would have the same heat capacity, the water equivalent $m_e$:

$\ev{C_\text{cal} = m_e\,c_\text{water}}$

In the balance the calorimeter enters as one more body, starting at the temperature of the water it contains: in practice you just add $m_e$ to the initial mass of water.

How to measure it: the method of mixtures. The calorimeter holds a mass $m_1$ of water at temperature $T_1$, in equilibrium with the vessel. A mass $m_2$ of warmer water, at temperature $T_2$, is poured in; the mixture is stirred and the equilibrium temperature $T_e$ is read. The hot water gives off heat, the cold water and the calorimeter absorb it:

$m_2\,c\,(T_2 - T_e) = (m_1 + m_e)\,c\,(T_e - T_1) \quad\Longrightarrow\quad m_e = m_2\,\frac{T_2 - T_e}{T_e - T_1} - m_1$

The specific heat $c$ of water cancels out.

Example (sample data). The calorimeter holds $m_1 = 200\;\text{g}$ of water at $T_1 = 20.0\;^\circ\text{C}$; $m_2 = 200\;\text{g}$ at $T_2 = 60.0\;^\circ\text{C}$ are poured in and the equilibrium is read at $T_e = 38.4\;^\circ\text{C}$. With an ideal calorimeter you would expect $40.0\;^\circ\text{C}$, the average of the two temperatures. Hence

$m_e = 200\cdot\frac{60.0 - 38.4}{38.4 - 20.0} - 200 \approx 35\;\text{g} \qquad C_\text{cal} = 0.035\cdot 4186 \approx 147\;\mathrm{J/K}$

The result is very sensitive to the thermometer reading: with $T_e = 38.3\;^\circ\text{C}$ you would get about $37\;\text{g}$, with $38.5\;^\circ\text{C}$ about $32\;\text{g}$. This is why it pays to work with large temperature differences and to repeat the measurement.

Why it matters. With the same calorimeter ($m_e = 35\;\text{g}$) we measure the specific heat of aluminium. The calorimeter holds $200\;\text{g}$ of water at $20.0\;^\circ\text{C}$; $100\;\text{g}$ of aluminium at $100.0\;^\circ\text{C}$ are dropped in and equilibrium is reached at $26.7\;^\circ\text{C}$ (sample data, built from the value in the table). Taking the calorimeter into account,

$c_\text{Al} = \frac{(0.200 + 0.035)\cdot 4186\cdot(26.7 - 20.0)}{0.100\cdot(100.0 - 26.7)} \approx 9.0\cdot 10^{2}\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}$

in agreement with the value in the table of specific heats ($897\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}$). Forgetting the calorimeter, only $0.200$ would remain in the numerator and you would find about $765\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}$: $15\%$ too low.

In the exercise Copper calorimeter the heat capacity of the calorimeter turns out to be $C_\text{cal} \approx 152\;\mathrm{J/K}$: this corresponds to a water equivalent $m_e = 152/4186 \approx 0.036\;\text{kg}$, that is about $36\;\text{g}$.

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