Gravitazione universale

La stessa forza che fa cadere una mela dall’albero tiene la Luna in orbita attorno alla Terra, e la Terra attorno al Sole. Questa intuizione unificante fu la grande vittoria di Newton: per la prima volta un’unica legge matematica descriveva i corpi sulla Terra e i corpi celesti nei cieli. Il capitolo parte dalla legge dell’inverso del quadrato, ne ricava l’energia potenziale, classifica le orbite in base all’energia totale, e chiude con velocità di fuga e satelliti. Con esso si chiude la Parte I dedicata alla meccanica.

Sezioni

• La legge di gravitazione universale
• Energia potenziale gravitazionale universale
• Traiettorie orbitali
• Velocità di fuga
• Satelliti e orbite circolari
  • Formula chiave — I punti di Lagrange

Riflessioni

• Da Keplero a Newton: la gravità universale
• La mela e la Luna
• Newton, Hooke e la priorità dell’inverso del quadrato
• Una mela e una luna: l’invenzione del cielo terrestre

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

The same force that makes an apple fall from a tree keeps the Moon in orbit around the Earth, and the Earth around the Sun. This unifying insight was Newton’s great triumph: for the first time, a single mathematical law described bodies on Earth and celestial bodies in the heavens. The chapter starts from the inverse-square law, derives its potential energy, classifies orbits by total energy, and closes with escape velocity and satellites. It brings Part I, devoted to mechanics, to a close.

Sections

• The law of universal gravitation
• Universal gravitational potential energy
• Orbital trajectories
• Escape velocity
• Satellites and circular orbits
  • Key formula — Lagrange points

Reflections

• From Kepler to Newton: universal gravity
• The apple and the Moon
• Newton, Hooke and priority for the inverse square
• An apple and a moon: the invention of the earthly sky

Exercises

• All the worked exercises of the chapter

Il caso più semplice di orbita è quello circolare: il satellite mantiene distanza costante $r$ dal centro. Qui la gravità fa una cosa sola, curvare la traiettoria, e la fisica si riduce a una sola equazione. La forza gravitazionale fornisce esattamente l’accelerazione centripeta richiesta dal moto circolare:

$\frac{GMm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

Velocità orbitale

$\ev{v_\text{orb} = \sqrt{\frac{GM}{r}}}$ Confrontata con la velocità di fuga alla stessa distanza: $v_\text{orb} = v_\text{fuga}/\sqrt{2}$. Fuggire richiede $\sqrt{2}$ volte la velocità con cui si orbita.

Un fatto controintuitivo emerge dalla formula: più l’orbita è alta (grande $r$), più il satellite va lento. I satelliti bassi sfrecciano, quelli lontani procedono con calma. È il motivo per cui la Stazione Spaziale, in orbita bassa, viaggia a $7{,}7\;\text{km/s}$, mentre un satellite geostazionario, molto più lontano, va a soli $3\;\text{km/s}$.

Satellite geostazionario

Un satellite geostazionario ha il periodo del giorno siderale, $T = 23\;\text{h}\;56\;\text{min} = 86\,164\;\text{s}$, non delle $24$ ore di $86\,400\;\text{s}$: deve restare fermo rispetto alle stelle, e quindi rispetto a un punto della Terra. Dalla terza legge di Keplero: $r^3 = \frac{GM_T T^2}{4\pi^2} \;\Rightarrow\; r \approx 4{,}2\cdot 10^7\;\text{m}$ cioè circa $35\,800\;\text{km}$ sopra la superficie (raggio terrestre $6\,400\;\text{km}$). La velocità orbitale corrispondente è: $v_\text{orb} = \sqrt{\frac{GM_T}{r}} \approx 3{,}1\;\text{km/s}$

L’orbita geostazionaria è unica: esiste un solo raggio per cui il periodo vale esattamente un giorno siderale. È per questo che le antenne paraboliche possono puntare fisse verso un punto del cielo: il satellite lì sembra immobile.

▶Perché gli astronauti sono in assenza di peso — Veritasium

▶Se puoi guardare questo video, è perché siamo stati sulla Luna — Luca Perri

Formula chiave — I punti di Lagrange

Nel problema dei tre corpi ristretto e circolare due corpi grandi, di masse $M$ e $m$, orbitano in circolo attorno al comune centro di massa, e un terzo corpo molto più leggero si muove nel loro piano senza influenzarli. Esistono cinque punti, detti punti di Lagrange $L_1,\dots,L_5$, in cui quel terzo corpo può restare fermo rispetto ai due grandi: nel riferimento che ruota insieme a loro sembra in quiete.

Quel riferimento è non inerziale, e in esso i due corpi grandi stanno fermi. Perché anche il terzo stia fermo, la somma delle due attrazioni gravitazionali e della forza centrifuga apparente deve essere nulla. La forza centrifuga, già usata così nella giostra, ha modulo $m_0\,\omega^2\rho$, dove $m_0$ è la massa del terzo corpo e $\rho$ la sua distanza dal centro di massa, ed è diretta verso l’esterno a partire dal centro di massa; $\omega$ è la velocità angolare della coppia, fissata dalla terza legge di Keplero,

$\ev{\omega^2 = \frac{G(M+m)}{R^3}}$

Tre punti stanno sulla retta che unisce i due corpi: $L_1$ fra di loro, $L_2$ oltre il più piccolo, $L_3$ oltre il più grande. Gli altri due, $L_4$ e $L_5$, sono i terzi vertici dei due triangoli equilateri che hanno per lato la distanza $R$ fra i due corpi. I tre punti collineari sono instabili lungo la congiungente: è l’analogia già dichiarata nell’esercizio Pianeta tra due stelle uguali.

Stima di $L_1$ Terra–Luna. Se $m \ll M$, e si chiama $\mu = m/(M+m)$ il rapporto fra la massa minore e la somma, la distanza $\xi$ di $L_1$ dal corpo piccolo è, all’ordine più basso,

$\ev{\xi \approx R\left(\frac{\mu}{3}\right)^{1/3}}$

L’idea è questa: vicino al corpo piccolo, la sua attrazione deve bilanciare il dislivello fra l’attrazione del corpo grande e la centrifuga (il campo di marea, che a distanza $\xi$ dal corpo piccolo vale circa $3GM\xi/R^3$: $2GM\xi/R^3$ dalla gravità del corpo grande e $\omega^2\xi$ dalla centrifuga). Uguagliando $Gm/\xi^2$ a quel termine si ottiene $\xi^3\approx (m/3M)R^3$, cioè la formula. I dati sono quelli dell’esercizio Forza gravitazionale Terra–Luna: $M_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\;\text{kg}$, $M_L = 7{,}35\cdot 10^{22}\;\text{kg}$, $R = 3{,}84\cdot 10^8\;\text{m}$. Allora $\mu = 0{,}0122$ e

$\ev{\xi \approx 6{,}1\cdot 10^{7}\;\text{m}}$

cioè circa $6\cdot 10^{4}\;\text{km}$ dalla Luna, e $3{,}2\cdot 10^{8}\;\text{m}$ dalla Terra. È una stima: risolvendo esattamente l’equilibrio nello stesso modello si trova $5{,}8\cdot 10^{7}\;\text{m}$ dalla Luna ($3{,}26\cdot 10^{8}\;\text{m}$ dalla Terra), quindi la formula sbaglia di circa il $6\%$. È il termine dominante di uno sviluppo in potenze di $(\mu/3)^{1/3}$, non di $\mu$, e per questo l’errore è di qualche per cento. Vale nel modello ristretto circolare, trattando le orbite come circolari: l’orbita reale della Luna è un po’ eccentrica, e $L_1$ non è un parcheggio, perché l’equilibrio è instabile.

Stabilità di $L_4$ e $L_5$. In questo modello $L_4$ e $L_5$ possono essere stabili, ma solo se un corpo è abbastanza più massiccio dell’altro: il rapporto delle masse deve superare circa $25$. Con i dati di sopra, $M_T/M_L \approx 81$, quindi la condizione è soddisfatta anche per Terra e Luna, e a maggior ragione per il Sole e un pianeta. Gli asteroidi troiani di Giove stanno proprio intorno a $L_4$ e $L_5$ del sistema Sole–Giove.

Il telescopio spaziale James Webb non sta fermo in $L_2$: percorre un’orbita attorno a $L_2$ del sistema Sole–Terra, a circa $1{,}5\cdot 10^{9}\;\text{m}$ dalla Terra. La stessa formula, con $M_S = 2{,}0\cdot 10^{30}\;\text{kg}$, $M_T = 6{,}0\cdot 10^{24}\;\text{kg}$ e $R = 1{,}5\cdot 10^{11}\;\text{m}$ già usati negli esercizi di questo capitolo, dà $\xi \approx 1{,}5\cdot 10^{9}\;\text{m}$. Siccome $L_2$ è instabile, la sonda deve periodicamente correggere la propria orbita.

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Argomenti: Gravitazione Concetti: Orbite · Velocità di fuga · Leggi di Keplero Oggetti: Satellite

Esercizi collegati: Vero o falso su energia e orbite · Altitudine dell’orbita geostazionaria · Dimostrazione della velocità di fuga · Pianeta tra due stelle uguali

The simplest kind of orbit is the circular one: the satellite keeps a constant distance $r$ from the centre. Here gravity does just one thing, curving the trajectory, and the physics reduces to a single equation. The gravitational force provides exactly the centripetal acceleration required by circular motion:

$\frac{GMm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

Orbital velocity

$\ev{v_\text{orb} = \sqrt{\frac{GM}{r}}}$ Compared with the escape velocity at the same distance: $v_\text{orb} = v_\text{fuga}/\sqrt{2}$. Escaping requires $\sqrt{2}$ times the speed needed to orbit.

A counter-intuitive fact emerges from the formula: the higher the orbit (larger $r$), the slower the satellite moves. Low satellites zip along, distant ones proceed calmly. This is why the Space Station, in low orbit, travels at $7{,}7\;\text{km/s}$, while a geostationary satellite, much further away, moves at only $3\;\text{km/s}$.

Geostationary satellite

A geostationary satellite has the period of the sidereal day, $T = 23\;\text{h}\;56\;\text{min} = 86\,164\;\text{s}$, not the $24$ hours of $86\,400\;\text{s}$: it must stay fixed relative to the stars, and therefore relative to a point on the Earth. From Kepler’s third law: $r^3 = \frac{GM_T T^2}{4\pi^2} \;\Rightarrow\; r \approx 4{,}2\cdot 10^7\;\text{m}$ that is, about $35\,800\;\text{km}$ above the surface (Earth’s radius $6\,400\;\text{km}$). The corresponding orbital velocity is: $v_\text{orb} = \sqrt{\frac{GM_T}{r}} \approx 3{,}1\;\text{km/s}$

The geostationary orbit is unique: there is only one radius for which the period is exactly one sidereal day. This is why satellite dishes can point fixed at one spot in the sky: the satellite there appears motionless.

▶Why Are Astronauts Weightless? — Veritasium

▶If you can watch this video, it's because we went to the Moon — Luca Perri

Key formula — Lagrange points

In the circular restricted three-body problem two large bodies, of masses $M$ and $m$, orbit in a circle about their common centre of mass, and a third body much lighter moves in their plane without affecting them. There are five points, called the Lagrange points $L_1,\dots,L_5$, at which that third body can remain at rest relative to the two large ones: in the frame that rotates with them it appears to be at rest.

That frame is non-inertial, and in it the two large bodies are at rest. For the third one to be at rest as well, the sum of the two gravitational attractions and of the apparent centrifugal force must vanish. The centrifugal force, already used in this way for the merry-go-round, has magnitude $m_0\,\omega^2\rho$, where $m_0$ is the mass of the third body and $\rho$ its distance from the centre of mass, and points outwards from the centre of mass; $\omega$ is the angular speed of the pair, fixed by Kepler’s third law,

$\ev{\omega^2 = \frac{G(M+m)}{R^3}}$

Three points lie on the line joining the two bodies: $L_1$ between them, $L_2$ beyond the smaller one, $L_3$ beyond the larger one. The other two, $L_4$ and $L_5$, are the third vertices of the two equilateral triangles that have as side the distance $R$ between the two bodies. The three collinear points are unstable along the joining line: that is the analogy already stated in the exercise Planet between two equal stars.

Estimate of Earth–Moon $L_1$. If $m \ll M$, and one writes $\mu = m/(M+m)$ for the ratio of the smaller mass to the sum, the distance $\xi$ of $L_1$ from the small body is, to lowest order,

$\ev{\xi \approx R\left(\frac{\mu}{3}\right)^{1/3}}$

The idea is this: near the small body, its attraction must balance the mismatch between the large body’s attraction and the centrifugal force (the tidal field, which at distance $\xi$ from the small body is about $3GM\xi/R^3$: $2GM\xi/R^3$ from the large body’s gravity and $\omega^2\xi$ from the centrifugal force). Equating $Gm/\xi^2$ to that term gives $\xi^3\approx (m/3M)R^3$, which is the formula. The data are those of the exercise Earth-Moon gravitational force: $M_T = 5.97\cdot 10^{24}\;\text{kg}$, $M_L = 7.35\cdot 10^{22}\;\text{kg}$, $R = 3.84\cdot 10^{8}\;\text{m}$. Then $\mu = 0.0122$ and

$\ev{\xi \approx 6.1\cdot 10^{7}\;\text{m}}$

that is, about $6\cdot 10^{4}\;\text{km}$ from the Moon, and $3.2\cdot 10^{8}\;\text{m}$ from the Earth. It is an estimate: solving the equilibrium exactly in the same model gives $5.8\cdot 10^{7}\;\text{m}$ from the Moon ($3.26\cdot 10^{8}\;\text{m}$ from the Earth), so the formula is off by about $6\%$. It is the leading term of an expansion in powers of $(\mu/3)^{1/3}$, not of $\mu$, which is why the error is a few per cent. It holds in the circular restricted model, treating the orbits as circular: the Moon’s real orbit is slightly eccentric, and $L_1$ is not a parking place, because the equilibrium is unstable.

Stability of $L_4$ and $L_5$. In this model $L_4$ and $L_5$ can be stable, but only if one body is sufficiently more massive than the other: the mass ratio must exceed about $25$. With the data above, $M_T/M_L \approx 81$, so the condition is satisfied for the Earth and the Moon as well, and all the more so for the Sun and a planet. Jupiter’s Trojan asteroids sit around $L_4$ and $L_5$ of the Sun–Jupiter system.

The James Webb Space Telescope does not sit still at $L_2$: it follows an orbit around $L_2$ of the Sun–Earth system, about $1.5\cdot 10^{9}\;\text{m}$ from the Earth. The same formula, with $M_S = 2.0\cdot 10^{30}\;\text{kg}$, $M_T = 6.0\cdot 10^{24}\;\text{kg}$ and $R = 1.5\cdot 10^{11}\;\text{m}$ already used in the exercises of this chapter, gives $\xi \approx 1.5\cdot 10^{9}\;\text{m}$. Because $L_2$ is unstable, the spacecraft must periodically correct its orbit.

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Johannes Kepler (1571–1630) lavorò per otto anni sui dati osservativi di Tycho Brahe per scoprire che le orbite dei pianeti sono ellissi con il Sole in un fuoco. Ma perché ellissi? La risposta arrivò sessant’anni dopo, quando Newton dimostrò che una forza inversamente proporzionale al quadrato della distanza ($F \propto 1/r^2$) produce esattamente orbite coniche: ellissi, parabole o iperboli (Newton 1687).

La leggenda racconta che Newton concepì l’idea vedendo cadere una mela nel giardino della casa materna a Woolsthorpe nel 1666, durante la peste che lo aveva costretto a lasciare Cambridge. Vera o no, l’intuizione è grandiosa: la stessa forza che fa cadere la mela tiene la Luna in orbita (Simonyi 2012, cap. 3).

La precisione che aprì la strada

La precisione ossessiva di Keplero fu decisiva: una discrepanza di soli 8 minuti d’arco tra le osservazioni di Tycho Brahe e il modello a orbite circolari lo spinse a cercare una forma diversa, finché non trovò l’ellisse. Keplero scrisse il proprio epitaffio: Mensus eram caelos, nunc terrae metior umbras (“Avevo misurato i cieli, ora misuro le ombre della terra”) (Simonyi 2012, pp. 190–193).

Henry Cavendish (1731–1810) misurò per la prima volta la costante $G$ nel 1798 con una bilancia di torsione, “pesando la Terra” nel suo laboratorio. Il valore che ottenne differisce meno dell’1% da quello accettato oggi (Simonyi 2012, p. 264).

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Johannes Kepler (1571–1630) worked for eight years on Tycho Brahe’s observational data to discover that planetary orbits are ellipses with the Sun at one focus. But why ellipses? The answer came sixty years later, when Newton showed that a force inversely proportional to the square of the distance ($F \propto 1/r^2$) produces exactly conic orbits: ellipses, parabolas or hyperbolas (Newton 1687).

Legend has it that Newton conceived the idea watching an apple fall in the garden of his mother’s house at Woolsthorpe in 1666, during the plague that had forced him to leave Cambridge. True or not, the insight is grand: the same force that makes the apple fall keeps the Moon in orbit (Simonyi 2012, ch. 3).

The precision that paved the way

Kepler’s obsessive precision was decisive: a discrepancy of just 8 arcminutes between Tycho Brahe’s observations and the circular-orbit model drove him to seek a different shape, until he found the ellipse. Kepler wrote his own epitaph: Mensus eram caelos, nunc terrae metior umbras (“I measured the skies, now I measure the shadows of the earth”) (Simonyi 2012, pp. 190–193).

Henry Cavendish (1731–1810) measured the constant $G$ for the first time in 1798 with a torsion balance, “weighing the Earth” in his laboratory. The value he obtained differs by less than 1% from the one accepted today (Simonyi 2012, p. 264).

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La storia della mela di Newton è probabilmente leggenda, ma il salto concettuale è reale: capire che la stessa forza che tira giù la mela tiene in orbita la Luna è stata una delle unificazioni più audaci nella storia del pensiero umano.

Fino a Newton, il cielo e la terra erano due mondi separati, con leggi diverse. Aristotele aveva attribuito agli astri un “moto naturalmente circolare” e ai corpi terrestri un “moto naturalmente rettilineo verso il basso”. Newton spazza via questa divisione: esiste una sola legge, quella della gravitazione universale, e la Luna “cade” verso la Terra esattamente come la mela, solo che cade abbastanza in fretta da mancarla sempre.

È l’immagine della caduta continua: se lanciassimo un proiettile sempre più veloce dalla cima di una montagna, cadrebbe sempre più lontano; oltre una certa velocità, la sua traiettoria di caduta seguirebbe la curvatura della Terra senza mai toccarla. Quella è un’orbita. La Luna fa proprio questo: cade perennemente verso la Terra, ma la sua velocità tangenziale la fa “mancare” ad ogni istante.

▶Perché la Luna orbita attorno alla Terra? — Veritasium

▶La straordinaria coincidenza della Luna — Luca Perri

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The story of Newton’s apple is probably legend, but the conceptual leap is real: understanding that the same force pulling the apple down also keeps the Moon in orbit was one of the boldest unifications in the history of human thought.

Until Newton, the sky and the earth were two separate worlds, with different laws. Aristotle had attributed to the heavenly bodies a “naturally circular motion” and to earthly bodies a “naturally rectilinear motion downward.” Newton sweeps away this divide: there is only one law, that of universal gravitation, and the Moon “falls” toward the Earth exactly like the apple, except that it falls fast enough sideways to always miss it.

This is the image of continuous falling: if we launched a projectile ever faster from a mountaintop, it would land ever further away; beyond a certain speed, its falling trajectory would follow the curvature of the Earth without ever touching it. That is an orbit. The Moon does exactly this: it perpetually falls toward the Earth, but its tangential velocity makes it “miss” at every instant.

▶Why Does the Moon Orbit the Earth? — Veritasium

▶The extraordinary coincidence of the Moon — Luca Perri

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La pubblicazione dei Principia nel 1687 fu segnata da una lunga, aspra disputa di priorità con Robert Hooke. Già nel 1679 Hooke aveva scritto a Newton suggerendo che la forza gravitazionale potesse decrescere come $1/r^2$, ma senza riuscire a dedurne le orbite ellittiche di Keplero. La derivazione completa — che le orbite di un campo $1/r^2$ sono sezioni coniche — arrivò solo con Newton (1684), su sollecitazione di Edmond Halley. Hooke pretese il riconoscimento per l’ipotesi originale; Newton, furibondo, minacciò di non pubblicare il terzo volume dei Principia (Dolnick 2011).

Intuire e dimostrare

La disputa illustra un meccanismo ricorrente nella scienza: intuire una legge e dimostrarla sono due cose qualitativamente diverse. Hooke ebbe l’intuizione $1/r^2$; Newton costruì la matematica per dedurre da essa ogni traiettoria osservabile. È la differenza, oggi, fra “buona idea su una lavagna” e “teoria predittiva”. Halley, nel mezzo, fece da mediatore e pagò di tasca propria la stampa dei Principia.

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The publication of the Principia in 1687 was marked by a long, bitter priority dispute with Robert Hooke. Already in 1679 Hooke had written to Newton suggesting that the gravitational force might decrease as $1/r^2$, but without managing to derive Kepler’s elliptical orbits from it. The complete derivation — that the orbits of a $1/r^2$ field are conic sections — came only with Newton (1684), prompted by Edmond Halley. Hooke demanded recognition for the original hypothesis; Newton, furious, threatened not to publish the third volume of the Principia (Dolnick 2011).

Intuiting and proving

The dispute illustrates a recurring mechanism in science: intuiting a law and proving it are two qualitatively different things. Hooke had the $1/r^2$ intuition; Newton built the mathematics to deduce every observable trajectory from it. It is the difference, today, between a “good idea on a whiteboard” and a “predictive theory.” Halley, in the middle, acted as mediator and paid out of his own pocket for the printing of the Principia.

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Quando Newton scrive che la mela e la Luna “cadono” nello stesso modo, sta dicendo qualcosa di filosoficamente esplosivo. Per duemila anni, da Aristotele in poi, la fisica del cielo era stata considerata di natura diversa da quella della Terra: i corpi celesti erano fatti di etere puro, eterni, incorruttibili, mossi da intelligenze divine; quelli terrestri di materia greve e mortale, soggetti a corruzione e a moti rettilinei.

Newton, in un solo gesto, abolisce questa distinzione: una sola legge matematica governa cadute domestiche e orbite cosmiche. Il cielo viene “terrestrificato”. È forse la prima volta nella storia del pensiero occidentale che un’unica formula, la stessa $F = GMm/r^2$, pretende di valere ovunque nell’universo: un atto di audacia che oggi diamo per scontato, ma che richiese a Newton anni di prudenza prima di darlo alle stampe nei Principia (Newton 1687; Dolnick 2011).

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When Newton writes that the apple and the Moon “fall” in the same way, he is saying something philosophically explosive. For two thousand years, from Aristotle onward, the physics of the heavens had been considered different in nature from that of the Earth: celestial bodies were made of pure ether, eternal, incorruptible, moved by divine intelligences; earthly bodies of coarse, mortal matter, subject to decay and rectilinear motion.

Newton, in a single stroke, abolishes this distinction: one mathematical law governs domestic falls and cosmic orbits alike. The sky is “made earthly.” It is perhaps the first time in the history of Western thought that a single formula, the same $F = GMm/r^2$, claims to hold everywhere in the universe: an act of daring that we now take for granted, but which required Newton years of caution before committing it to print in the Principia (Newton 1687; Dolnick 2011).

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